Упр.545 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=xe^{5x}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(xe^{5x})’=e^{5x}+5xe^{5x}=e^{5x}(1+5x).$$

Так как $$e^{5x}>0$$ при всех $$x$$, то знак производной определяется множителем $$1+5x$$. Критическая точка:

$$1+5x=0 \Rightarrow x=-\frac15.$$

При $$x<-\frac15$$ имеем $$f'(x)<0$$, при $$x>-\frac15$$ имеем $$f'(x)>0$$. Значит, функция убывает на $$(-\infty;-\frac15]$$ и возрастает на $$[-\frac15;\infty)$$. В точке $$x=-\frac15$$ — минимум:

$$f\!\left(-\frac15\right)=-\frac15e^{-1}=-\frac{1}{5e}.$$

б) $$f(x)=x^2\cdot 2^{-x}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(x^2\cdot 2^{-x})’=2x\cdot 2^{-x}+x^2\cdot 2^{-x}\ln 2\cdot(-1)=2^{-x}x(2-x\ln 2).$$

Критические точки:

$$x=0,\qquad x=\frac{2}{\ln 2}.$$

Так как $$2^{-x}>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$x(2-x\ln 2)$$. Получаем:

$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;0], \qquad f'(x)>0 \text{ на } [0;\frac{2}{\ln 2}], \qquad f'(x)<0 \text{ на } [\frac{2}{\ln 2};\infty).$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[\frac{2}{\ln 2};\infty)$$, возрастает на $$[0;\frac{2}{\ln 2}]$$. В точке $$x=0$$ — минимум:

$$f(0)=0.$$

В точке $$x=\frac{2}{\ln 2}$$ — максимум:

$$f\!\left(\frac{2}{\ln 2}\right)=\left(\frac{2}{\ln 2}\right)^2\cdot 2^{-\frac{2}{\ln 2}}=\frac{4}{(\ln 2)^2}\cdot e^{-2}=\frac{4}{e^2(\ln 2)^2}.$$

в) $$f(x)=xe^{-x}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(xe^{-x})’=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x).$$

Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x$$, то критическая точка одна:

$$1-x=0 \Rightarrow x=1.$$

При $$x<1$$ имеем $$f'(x)>0$$, при $$x>1$$ имеем $$f'(x)<0$$. Значит, функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;\infty)$$. В точке $$x=1$$ — максимум:

$$f(1)=\frac{1}{e}.$$

г) $$f(x)=x^4\cdot 0{,}5^x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(x^4\cdot 0{,}5^x)’=4x^3\cdot 0{,}5^x+x^4\cdot 0{,}5^x\ln 0{,}5$$

$$=0{,}5^x x^3(4-x\ln 2).$$

Критические точки:

$$x=0,\qquad x=\frac{4}{\ln 2}.$$

Так как $$0{,}5^x>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$x^3(4-x\ln 2)$$. Получаем:

$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;0], \qquad f'(x)>0 \text{ на } [0;\frac{4}{\ln 2}], \qquad f'(x)<0 \text{ на } [\frac{4}{\ln 2};\infty).$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[\frac{4}{\ln 2};\infty)$$, возрастает на $$[0;\frac{4}{\ln 2}]$$. В точке $$x=0$$ — минимум:

$$f(0)=0.$$

В точке $$x=\frac{4}{\ln 2}$$ — максимум:

$$f\!\left(\frac{4}{\ln 2}\right)=\left(\frac{4}{\ln 2}\right)^4\cdot 0{,}5^{\frac{4}{\ln 2}}=\frac{256}{(\ln 2)^4}\cdot e^{-4}=\frac{256}{e^4(\ln 2)^4}.$$

Ответ:

а) убывает на $$(-\infty;-\frac15]$$, возрастает на $$[-\frac15;\infty)$$; минимум $$-\frac{1}{5e}$$ при $$x=-\frac15$$.

б) убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[\frac{2}{\ln 2};\infty)$$, возрастает на $$[0;\frac{2}{\ln 2}]$$; минимум $$0$$ при $$x=0$$, максимум $$\frac{4}{e^2(\ln 2)^2}$$ при $$x=\frac{2}{\ln 2}$$.

в) возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;\infty)$$; максимум $$\frac{1}{e}$$ при $$x=1$$.

г) убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[\frac{4}{\ln 2};\infty)$$, возрастает на $$[0;\frac{4}{\ln 2}]$$; минимум $$0$$ при $$x=0$$, максимум $$\frac{256}{e^4(\ln 2)^4}$$ при $$x=\frac{4}{\ln 2}$$.