Упр.540 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Используем формулу уравнения касательной к графику функции в точке $$x_0$$:
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$
а)
$$f(x)=e^{-x}, \quad x_0=0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-e^{-x}.$$
В точке $$x_0=0$$:
$$f'(0)=-1, \qquad f(0)=1.$$
Тогда уравнение касательной:
$$y=-1(x-0)+1=1-x.$$
б)
$$f(x)=3^x, \quad x_0=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3^x\ln 3.$$
В точке $$x_0=1$$:
$$f'(1)=3\ln 3, \qquad f(1)=3.$$
Тогда уравнение касательной:
$$y=3\ln 3\,(x-1)+3.$$
После преобразования:
$$y=3\ln 3\,x+3(1-\ln 3).$$
в)
$$f(x)=e^x, \quad x_0=0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=e^x.$$
В точке $$x_0=0$$:
$$f'(0)=1, \qquad f(0)=1.$$
Тогда уравнение касательной:
$$y=1\cdot(x-0)+1=x+1.$$
г)
$$f(x)=2^{-x}, \quad x_0=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2^{-x}\ln 2.$$
В точке $$x_0=1$$:
$$f'(1)=-\frac{\ln 2}{2}, \qquad f(1)=\frac12.$$
Тогда уравнение касательной:
$$y=-\frac{\ln 2}{2}(x-1)+\frac12.$$
После преобразования:
$$y=-\frac12\ln 2\cdot x+\frac12(1+\ln 2).$$
Ответ
а) $$y=1-x$$;
б) $$y=3\ln 3\,(x-1)+3$$;
в) $$y=x+1$$;
г) $$y=-\frac{\ln 2}{2}(x-1)+\frac12.$$
