Упр.54 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите тождество:
а) $$\frac{\operatorname{tg}(?+?)-\operatorname{tg}(?)-\operatorname{tg}(?)}{\operatorname{tg}(?)\operatorname{tg}(?+?)}=\operatorname{tg}(?)$$;
б) $$\frac{1-\cos(2?)+\sin(2?)}{1+\cos(2?)+\sin(2?)}=\operatorname{tg}(?)$$;
в) $$\frac{\cos(?+?)+\cos(?-?)}{\sin(?+?)+\sin(?-?)}=\operatorname{ctg}(?)$$;
г) $$\frac{\sin(?)-\sin(3?)}{\cos(?)-\cos(3?)}=-\operatorname{ctg}(2?)$$.

Преобразуем левую и правую части каждого тождества, используя формулы сложения и преобразования тригонометрических функций.

1. $$\frac{\tg(\alpha+\beta)-\tg\alpha-\tg\beta}{\tg\alpha\cdot\tg(\alpha+\beta)}$$
   $$=\frac{\dfrac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}-\tg\alpha-\tg\beta}{\tg\alpha\cdot\dfrac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}}$$
   $$=\frac{\tg\alpha+\tg\beta-\tg\alpha+\tg^2\alpha\cdot\tg\beta-\tg\beta+\tg\alpha\cdot\tg^2\beta}{\tg\alpha(\tg\alpha+\tg\beta)}$$
   $$=\frac{\tg\alpha\cdot\tg\beta(\tg\alpha+\tg\beta)}{\tg\alpha(\tg\alpha+\tg\beta)}=\frac{\tg\alpha\cdot\tg\beta}{\tg\alpha}=\tg\beta.$$

2. $$\frac{1-\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}$$
   $$=\frac{1-\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{1+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}$$
   $$=\frac{2\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}$$
   $$=\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha+\sin\alpha)}=\tg\alpha.$$

3. $$\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}$$
   $$=\frac{2\cos\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\cos\beta}=\ctg\alpha.$$

4. $$\frac{\sin\alpha-\sin 3\alpha}{\cos\alpha-\cos 3\alpha}$$
   $$=\frac{2\cos 2\alpha\sin(-\alpha)}{-2\sin 2\alpha\sin(-\alpha)}=-\ctg 2\alpha.$$

Ответ: а) $$\tg\beta$$; б) $$\tg\alpha$$; в) $$\ctg\alpha$$; г) $$-\ctg 2\alpha$$.