Упр.54 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите область значений каждой из функций: а) $$y=\cos^2(x)+\cos^4(x)$$; б) $$y=[x]^2$$; в) $$y=3\sin^2(x)-4\sin(x)-2$$; г) $$y=\left\{\frac{1}{x^2+\frac{1}{2}}\right\}$$.

а) Пусть $$t=\cos^2 x,$$ тогда $$0\le t\le 1.$$

Имеем

$$y=t+t^2.$$

Это возрастающая функция на отрезке $$[0;1],$$ так как $$y'(t)=1+2t>0.$$ Поэтому

$$y_{\min}=0 \text{ при } t=0,\qquad y_{\max}=2 \text{ при } t=1.$$

Следовательно, область значений:

$$[0;2].$$

б) Так как $$[x]$$ — целая часть числа $$x,$$ то $$[x]\in \mathbb{Z}.$$ Тогда

$$y=[x]^2=n^2,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

Значит, область значений — все квадраты целых чисел:

$$\{n^2\mid n\in \mathbb{Z}\}=\{0,1,4,9,\dots\}.$$

в) Пусть $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$ Получаем

$$y=3t^2-4t-2.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Вершина находится в точке

$$t_0=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$y_{\min}=3\left(\frac{2}{3}\right)^2-4\cdot\frac{2}{3}-2=-\frac{10}{3}.$$

На концах отрезка $$[-1;1]$$:

$$y(-1)=3\cdot 1+4-2=5,$$

$$y(1)=3\cdot 1-4-2=-3.$$

Следовательно, область значений:

$$\left[-\frac{10}{3};\,5\right].$$

г) Обозначим

$$t=x^2+\frac12.$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то

$$t\ge \frac12.$$

Тогда

$$y=\frac{1}{t}.$$

При $$t\ge \frac12$$ получаем

$$0<y\le 2.$$

Значит, область значений:

$$\left(0;2\right].$$

Ответ

а) $$[0;2]$$; б) $$\{n^2\mid n\in \mathbb{Z}\}$$; в) $$\left[-\frac{10}{3};\,5\right]$$; г) $$\left(0;2\right].$$