Упр.536 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) На промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция $$f(x)=\sin x$$ возрастает, значит, на этом промежутке она взаимно однозначна и имеет обратную функцию.

Следовательно,

$$g(x)=\arcsin x.$$

Область определения и множество значений обратной функции:

$$D(g)=[-1;1], \qquad E(g)=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

График функции $$g(x)=\arcsin x$$ получается отражением графика $$y=\sin x$$ на указанном промежутке относительно прямой $$y=x$$.

б) На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$f(x)=\tg x$$ возрастает, значит, обратная функция существует.

Тогда

$$g(x)=\operatorname{arctg}x.$$

Область определения и множество значений:

$$D(g)=\mathbb{R}, \qquad E(g)=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

График $$y=\operatorname{arctg}x$$ симметричен графику $$y=\tg x$$ относительно прямой $$y=x$$.

в) На промежутке $$[0;\pi]$$ функция $$f(x)=\cos x$$ убывает, значит, на этом промежутке существует обратная функция.

Следовательно,

$$g(x)=\arccos x.$$

Область определения и множество значений:

$$D(g)=[-1;1], \qquad E(g)=[0;\pi].$$

График $$y=\arccos x$$ получается отражением графика $$y=\cos x$$ на промежутке $$[0;\pi]$$ относительно прямой $$y=x$$.

г) На промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ функция $$f(x)=\ctg x$$ убывает, значит, обратная функция существует.

Тогда

$$g(x)=\operatorname{arcctg}x.$$

Область определения и множество значений:

$$D(g)=\mathbb{R}, \qquad E(g)=\left(0;\pi\right).$$

График $$y=\operatorname{arcctg}x$$ симметричен графику $$y=\ctg x$$ относительно прямой $$y=x$$.