Упр.535 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Функция имеет обратную на указанном промежутке, если на этом промежутке она монотонна.

а)

$$f(x)=x^2+1,\quad x\le 0.$$

На промежутке $$(-\infty;0]$$ функция $$f(x)$$ убывает, значит, обратная функция существует.

Найдём её:

$$y=x^2+1,\quad x\le 0$$

$$x=-\sqrt{y-1}$$

Меняя обозначения переменных, получаем

$$g(x)=-\sqrt{x-1}.$$

Область определения и множество значений:

$$D(g)=[1;+\infty),\qquad E(g)=(-\infty;0].$$

б)

$$f(x)=2x,\quad (-\infty;+\infty).$$

Функция возрастает на всей числовой прямой, значит, обратная функция существует.

Найдём её:

$$y=2x \quad \Rightarrow \quad x=\frac{y}{2}$$

Следовательно,

$$g(x)=\frac{x}{2}.$$

Область определения и множество значений:

$$D(g)=E(g)=\mathbb{R}.$$

в)

$$f(x)=\sqrt[4]{x},\quad x\ge 0.$$

На промежутке $$[0;+\infty)$$ функция возрастает, значит, обратная функция существует.

Найдём её:

$$y=\sqrt[4]{x}\quad \Rightarrow \quad x=y^4$$

Тогда

$$g(x)=x^4.$$

Область определения и множество значений:

$$D(g)=E(g)=[0;+\infty).$$

г)

$$f(x)=x^3+1,\quad (-\infty;+\infty).$$

Функция возрастает на всей числовой прямой, значит, обратная функция существует.

Найдём её:

$$y=x^3+1 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt[3]{y-1}$$

Следовательно,

$$g(x)=\sqrt[3]{x-1}.$$

Область определения и множество значений:

$$D(g)=E(g)=\mathbb{R}.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } g(x)=-\sqrt{x-1}, \quad D(g)=[1;+\infty), \quad E(g)=(-\infty;0];\\ &\text{б) } g(x)=\frac{x}{2}, \quad D(g)=E(g)=\mathbb{R};\\ &\text{в) } g(x)=x^4, \quad D(g)=E(g)=[0;+\infty);\\ &\text{г) } g(x)=\sqrt[3]{x-1}, \quad D(g)=E(g)=\mathbb{R}. \end{aligned}$$