Упр.532 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Для нахождения обратной функции нужно выразить $$x$$ через $$y$$, затем поменять местами переменные: $$y=g(x)$$.
$$f(x)=-\frac{1}{x}$$
Выразим $$x$$:
$$y=-\frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{1}{y}$$
Тогда
$$g(x)=-\frac{1}{x}$$
Область определения и область значений:
$$D(g)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty), \qquad E(g)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
$$f(x)=2x^2,\quad x\ge 0$$
Выразим $$x$$:
$$y=2x^2 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt{\frac{y}{2}}$$
Тогда
$$g(x)=\sqrt{\frac{x}{2}}$$
Область определения и область значений:
$$D(g)=[0;+\infty), \qquad E(g)=[0;+\infty).$$
$$f(x)=\frac{x}{x+2}$$
Выразим $$x$$:
$$y=\frac{x}{x+2} \quad \Rightarrow \quad y(x+2)=x$$
$$yx+2y=x$$
$$2y=x-xy$$
$$2y=x(1-y)$$
$$x=\frac{2y}{1-y}$$
Тогда
$$g(x)=\frac{2x}{1-x}$$
Область определения и область значений:
$$D(g)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty), \qquad E(g)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
$$f(x)=\sqrt{x+1}$$
Выразим $$x$$:
$$y=\sqrt{x+1} \quad \Rightarrow \quad y^2=x+1$$
$$x=y^2-1$$
Тогда
$$g(x)=x^2-1$$
Так как для исходной функции $$x\ge -1$$ и $$y\ge 0$$, то
$$D(g)=[0;+\infty), \qquad E(g)=[-1;+\infty).$$
Ответ
а) $$g(x)=-\frac{1}{x},\quad D(g)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\quad E(g)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
б) $$g(x)=\sqrt{\frac{x}{2}},\quad D(g)=[0;+\infty),\quad E(g)=[0;+\infty).$$
в) $$g(x)=\frac{2x}{1-x},\quad D(g)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty),\quad E(g)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
г) $$g(x)=x^2-1,\quad D(g)=[0;+\infty),\quad E(g)=[-1;+\infty).$$
