Упр.530 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а)

$$3^y\cdot 9^x=81,$$
$$\lg(x+y)^2-\lg x=2\lg 3.$$

Преобразуем уравнения:

$$3^y\cdot 3^{2x}=3^4 \;\Rightarrow\; 3^{y+2x}=3^4 \;\Rightarrow\; y+2x=4,$$
$$\lg\frac{(x+y)^2}{x}=\lg 3^2=\lg 9 \;\Rightarrow\; \frac{(x+y)^2}{x}=9.$$

Из первого уравнения $$y=4-2x$$. Подставим во второе:

$$\frac{(x+4-2x)^2}{x}=9,$$
$$(4-x)^2=9x,$$
$$x^2-17x+16=0,$$
$$x_1=1,\; x_2=16.$$

Тогда

$$y_1=4-2\cdot 1=2,\qquad y_2=4-2\cdot 16=-28.$$

Ответ: $$(1;2),\ (16;-28).$$

б)

$$10^{1+\lg(x+y)}=50,$$
$$\lg(x+y)+\lg(x-y)=2-\lg 5.$$

Преобразуем первое уравнение:

$$10^{1+\lg(x+y)}=10\cdot 10^{\lg(x+y)}=10(x+y)=50,$$
$$x+y=5.$$

Во втором уравнении:

$$\lg(x+y)+\lg(x-y)=\lg 100-\lg 5=\lg\frac{100}{5}=\lg 20,$$
$$\lg\bigl((x+y)(x-y)\bigr)=\lg 20,$$
$$(x+y)(x-y)=20.$$

Подставим $$x+y=5$$:

$$5(x-y)=20,$$
$$x-y=4.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} x+y=5,\\ x-y=4. \end{cases}$$
$$2x=9,\quad x=4{,}5,$$
$$y=0{,}5.$$

Ответ: $$(4{,}5;\ 0{,}5).$$

в)

$$3^x\cdot 2^y=576,$$
$$\log_{\sqrt2}(y-x)=4.$$

Так как $$4=\log_{\sqrt2}4,$$ то

$$\log_{\sqrt2}(y-x)=\log_{\sqrt2}4 \;\Rightarrow\; y-x=4.$$

Из второго уравнения $$y=x+4$$. Подставим в первое:

$$3^x\cdot 2^{x+4}=576,$$
$$3^x\cdot 2^x\cdot 16=576,$$
$$6^x=36,$$
$$x=2.$$

Тогда

$$y=2+4=6.$$

Ответ: $$(2;\ 6).$$

г)

$$\lg x-\lg y=\lg 15-1,$$
$$10^{\lg(3x+2y)}=39.$$

Преобразуем уравнения:

$$\lg\frac{x}{y}=\lg 15-\lg 10=\lg\frac{3}{2},$$
$$\frac{x}{y}=\frac{3}{2},\quad 2x=3y,$$
$$3x+2y=39.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} 2x=3y,\\ 3x+2y=39. \end{cases}$$
$$x=9,\quad y=6.$$

Ответ: $$(9;\ 6).$$