Упр.53 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2\tg\alpha-\tg(\alpha-\pi)+\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)$$

Используем формулы приведения:

$$\tg(\alpha-\pi)=\tg\alpha,\qquad \ctg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\tg\alpha.$$

Тогда

$$2\tg\alpha-\tg\alpha+\tg\alpha=2\tg\alpha.$$

б) $$\frac{\sin(-\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)}-\frac{\tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\ctg\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}$$

Применим тождества:

$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,$$

$$\tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\ctg\alpha,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha.$$

Получаем

$$\frac{-\sin\alpha}{\sin\alpha}-\frac{\ctg\alpha}{\ctg\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}=-1-1+1=-1.$$

в) $$\frac{\tg(\pi-\beta)\cos(\pi-\beta)\tg\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)\ctg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}$$

Используем формулы приведения:

$$\tg(\pi-\beta)=-\tg\beta,\qquad \cos(\pi-\beta)=-\cos\beta,$$

$$\tg\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\ctg\beta,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\cos\beta,$$

$$\ctg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\tg\alpha,\qquad \tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\ctg\alpha.$$

Тогда

$$\frac{(-\tg\beta)(-\cos\beta)\ctg\beta}{\cos\beta\cdot(-\tg\alpha)\cdot(-\ctg\alpha)} = \frac{\tg\beta\cos\beta\ctg\beta}{\cos\beta} = \frac{\tg\beta\cdot\ctg\beta}{1} =1.$$

г) $$\frac{\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\sin\frac{3\pi}{2}\sin\frac{16\pi}{9}\cos\frac{13\pi}{18}}{\ctg(\pi-\alpha)\cos\frac{5\pi}{18}\sin\frac{11\pi}{9}\cos 2\pi}$$

Приведём тригонометрические функции:

$$\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\ctg\alpha,\qquad \sin\frac{3\pi}{2}=-1,\qquad \sin\frac{16\pi}{9}=-\sin\frac{2\pi}{9},$$

$$\cos\frac{13\pi}{18}=-\cos\frac{5\pi}{18},\qquad \ctg(\pi-\alpha)=-\ctg\alpha,\qquad \sin\frac{11\pi}{9}=-\sin\frac{2\pi}{9},\qquad \cos 2\pi=1.$$

Тогда

$$\frac{(-\ctg\alpha)(-1)(-\sin\frac{2\pi}{9})(-\cos\frac{5\pi}{18})} {(-\ctg\alpha)\cos\frac{5\pi}{18}(-\sin\frac{2\pi}{9})\cdot 1} =1.$$

Ответ: а) $$2\tg\alpha$$; б) $$-1$$; в) $$1$$; г) $$1$$.