Упр.53 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите область значений каждой из функций: а) $$y=\cos^2(x)-\cos(x)$$; б) $$y=v(1-\sin(x)\operatorname{ctg}(x))$$; в) $$y=3\cos(x)-4\sin(x)-1$$; г) $$y=\frac{1}{\operatorname{tg}^2\left(\frac{x}{2}\right)+2}$$.
а) $$y=\cos^2 x-\cos x.$$
Обозначим $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1$$ и
$$y=t^2-t=\left(t-\frac12\right)^2-\frac14.$$
Минимум достигается при $$t=\frac12$$ и равен $$-\frac14.$$
На концах отрезка:
$$y(-1)=1+1=2,\qquad y(1)=1-1=0.$$
Следовательно, область значений:
$$\left[-\frac14;\,2\right].$$
б) $$y=\sqrt{1-\sin x\ctg x}.$$
Так как $$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x},$$ то при $$\sin x\ne 0$$ имеем
$$\sin x\ctg x=\cos x,$$
значит
$$y=\sqrt{1-\cos x}.$$
Поскольку $$-1\le \cos x\le 1,$$ то
$$0\le 1-\cos x\le 2,$$
откуда
$$0\le y\le \sqrt2.$$
Но при $$\cos x=1$$ получаем $$y=0,$$ а это возможно только при $$x=2\pi k,$$ где $$\sin x=0,$$ то есть исходное выражение не определено. Поэтому ноль не входит в область значений.
Итак,
$$\left(0;\,\sqrt2\right].$$
в) $$y=3\cos x-4\sin x-1.$$
Представим линейную комбинацию в виде одной тригонометрической функции:
$$3\cos x-4\sin x=5\cos(x+\varphi),$$
так как $$\sqrt{3^2+4^2}=5.$$ Тогда
$$y=5\cos(x+\varphi)-1.$$
Поскольку $$-1\le \cos(x+\varphi)\le 1,$$ то
$$-5\le 5\cos(x+\varphi)\le 5,$$
следовательно,
$$-6\le y\le 4.$$
Ответ:
$$[-6;\,4].$$
г) $$y=\frac{1}{\tg^2\frac{x}{2}+2}.$$
Так как $$\tg^2\frac{x}{2}\ge 0,$$ то
$$\tg^2\frac{x}{2}+2\ge 2.$$
Значит,
$$0<y\le \frac12.$$
При $$\tg^2\frac{x}{2}=0$$ получаем $$y=\frac12,$$ а при $$\tg^2\frac{x}{2}\to\infty$$ имеем $$y\to 0.$$
Следовательно, область значений:
$$\left(0;\,\frac12\right].$$
Ответ
а) $$\left[-\frac14;\,2\right]$$; б) $$\left(0;\,\sqrt2\right]$$; в) $$[-6;\,4]$$; г) $$\left(0;\,\frac12\right].$$
