Упр.529 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а)
$$\begin{cases} \log_{\frac13}(x+y)=2,\\ \log_3(x-y)=2. \end{cases}$$
По определению логарифма получаем:
$$\begin{cases} x+y=\left(\frac13\right)^2=\frac19,\\ x-y=3^2=9. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2x=\frac19+9=\frac{82}{9}, \qquad x=\frac{41}{9}.$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$2y=\frac19-9=-\frac{80}{9}, \qquad y=-\frac{40}{9}.$$
Ответ: $$\left(\frac{41}{9};-\frac{40}{9}\right).$$
б)
$$\begin{cases} \lg(x^2+y^2)=2,\\ \log_{48}x+\log_{48}y=1. \end{cases}$$
Преобразуем систему:
$$\begin{cases} x^2+y^2=100,\\ \log_{48}(xy)=1. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$xy=48.$$
Тогда
$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=100+96=196,$$
значит, $$x+y=\pm 14.$$
Решим систему
$$\begin{cases} x^2+y^2=100,\\ xy=48. \end{cases}$$
Имеем:
$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=100,$$
откуда действительно $$x+y=\pm 14.$$
Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-14t+48=0 \quad \text{или} \quad t^2+14t+48=0.$$
В обоих случаях получаем пары $$6$$ и $$8$$, а с учётом области определения $$x>0,\ y>0$$:
$$(x,y)=(6,8),\ (8,6).$$
Ответ: $$(6;8),\ (8;6).$$
в)
$$\begin{cases} \log_{\frac13}x+\log_{\frac13}y=2,\\ \log_{\frac13}x-\log_{\frac13}y=4. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2\log_{\frac13}x=6,$$
откуда
$$\log_{\frac13}x=3,\qquad x=\left(\frac13\right)^3=\frac1{27}.$$
Из первого уравнения:
$$\log_{\frac13}y=2-\log_{\frac13}x=2-3=-1,$$
значит
$$y=\left(\frac13\right)^{-1}=3.$$
Ответ: $$\left(\frac1{27};3\right).$$
г)
$$\begin{cases} \lg(x^2+y^2)=1+\lg 13,\\ \lg(x+y)=\lg(x-y)+\lg 8. \end{cases}$$
Преобразуем:
$$\begin{cases} \lg(x^2+y^2)=\lg 130,\\ \lg(x+y)=\lg\bigl(8(x-y)\bigr). \end{cases}$$
Следовательно,
$$\begin{cases} x^2+y^2=130,\\ x+y=8(x-y). \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x+y=8x-8y \quad \Rightarrow \quad 7x=9y \quad \Rightarrow \quad y=\frac79x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+\left(\frac79x\right)^2=130,$$
$$x^2+\frac{49}{81}x^2=130,$$
$$\frac{130}{81}x^2=130,$$
$$x^2=81,\qquad x=\pm 9.$$
Тогда
$$y=\frac79x=\pm 7.$$
Проверим область определения: $$x+y>0$$ и $$x-y>0$$. Подходит только пара $$x=9,\ y=7$$.
Ответ: $$(9;7).$$
