Упр.528 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

а)

$$\log_2 \sin \frac{x}{2} < -1.$$

По определению логарифма должно быть $$\sin \frac{x}{2} > 0.$$

Так как $$-1=\log_2 \frac12,$$ а основание $$2>1,$$ то

$$\sin \frac{x}{2} < \frac12.$$

Итак,

$$0<\sin \frac{x}{2}<\frac12.$$

Отсюда

$$0<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{5\pi}{6}+2\pi n<\frac{x}{2}<\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Умножая на $$2$$, получаем

$$4\pi n<x<\frac{\pi}{3}+4\pi n \quad \text{или} \quad \frac{5\pi}{3}+4\pi n<x<2\pi+4\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б)

$$|3-\log_2 x|<2.$$

Это равносильно двойному неравенству:

$$-2<3-\log_2 x<2.$$

Вычтем из всех частей $$3$$:

$$-5<-\log_2 x<-1.$$

Умножим на $$-1$$, изменив знаки неравенств:

$$5>\log_2 x>1,$$

то есть

$$1<\log_2 x<5.$$

Так как основание $$2>1$$, получаем

$$2<x<32.$$

в)

$$\log_{\frac12}\cos 2x>1.$$

По определению логарифма должно быть $$\cos 2x>0.$$

Так как $$1=\log_{\frac12}\frac12,$$ а основание $$\frac12<1,$$ то при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

$$0<\cos 2x<\frac12.$$

Решаем неравенство $$\cos 2x<\frac12$$ при условии $$\cos 2x>0.$$

Получаем:

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<2x<-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Делим на $$2$$:

$$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+\pi n \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Значит,

$$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,-\frac{\pi}{6}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\quad n\in \mathbb Z.$$

г)

$$|3\lg x-1|<2.$$

Это равносильно двойному неравенству:

$$-2<3\lg x-1<2.$$

Прибавим $$1$$:

$$-1<3\lg x<3.$$

Разделим на $$3$$:

$$-\frac13<\lg x<1.$$

Так как основание логарифма $$10>1$$, получаем

$$10^{-\frac13}<x<10.$$

Следовательно,

$$x\in\left(\frac{1}{\sqrt[3]{10}};\,10\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(4\pi n;\,\frac{\pi}{3}+4\pi n\right)\cup\left(\frac{5\pi}{3}+4\pi n;\,2\pi+4\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

б) $$x\in(2;\,32);$$

в) $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,-\frac{\pi}{6}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

г) $$x\in\left(\frac{1}{\sqrt[3]{10}};\,10\right).$$