Упр.527 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Введём новую неизвестную $$y=\log_2 x.$$ Тогда получаем

$$y^2-y\le 6$$

$$y^2-y-6\le 0$$

$$-2\le y\le 3.$$

Возвращаемся к старой неизвестной:

$$-2\le \log_2 x\le 3$$

$$\log_2 \frac14\le \log_2 x\le \log_2 8.$$

Так как основание логарифма $$2>1,$$ то

$$\frac14\le x\le 8.$$

Следовательно, $$x\in \left[\frac14;8\right].$$

б) По определению логарифма $$x>0.$$ Введём новую неизвестную $$y=\log_{\frac13}x.$$ Тогда

$$y^2-4>0$$

$$\left(y-2\right)\left(y+2\right)>0,$$

откуда

$$y>2 \quad \text{или} \quad y<-2.$$

Возвращаемся к старой неизвестной:

$$\log_{\frac13}x>2 \quad \text{или} \quad \log_{\frac13}x<-2.$$

То есть

$$\log_{\frac13}x>\log_{\frac13}\frac19 \quad \text{или} \quad \log_{\frac13}x<\log_{\frac13}9.$$

Так как основание логарифма $$\frac13<1,$$ то знак неравенства меняется:

$$x<\frac19 \quad \text{или} \quad x>9.$$

Следовательно, $$x\in \left(0;\frac19\right)\cup(9;\infty).$$

в) По определению логарифма $$x>0.$$ Введём новую неизвестную $$y=\lg x.$$ Тогда

$$y^2+2y>3$$

$$y^2+2y-3>0$$

$$\left(y-1\right)\left(y+3\right)>0,$$

откуда

$$y>1 \quad \text{или} \quad y<-3.$$

Возвращаемся к старой неизвестной:

$$\lg x>1 \quad \text{или} \quad \lg x<-3.$$

То есть

$$\lg x>\lg 10 \quad \text{или} \quad \lg x<\lg 0{,}001.$$

Так как основание логарифма $$10>1,$$ то

$$x>10 \quad \text{или} \quad x<0{,}001.$$

Следовательно, $$x\in (0;0{,}001)\cup(10;\infty).$$

г) По определению логарифма $$x>0.$$ Тогда

$$\left(\log_3 x\right)^2\le 9$$

$$-3\le \log_3 x\le 3.$$

Возвращаемся к старой неизвестной:

$$\log_3 \frac1{27}\le \log_3 x\le \log_3 27.$$

Так как основание логарифма $$3>1,$$ то

$$\frac1{27}\le x\le 27.$$

Следовательно, $$x\in \left[\frac1{27};27\right].$$

Ответ

а) $$x\in \left[\frac14;8\right];$$ б) $$x\in \left(0;\frac19\right)\cup(9;\infty);$$ в) $$x\in (0;0{,}001)\cup(10;\infty);$$ г) $$x\in \left[\frac1{27};27\right].$$