Упр.524 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_2(9-2^x)=3-x$$

По определению логарифма:

$$9-2^x=2^{3-x}=\frac{8}{2^x}$$

Введём новую неизвестную: $$y=2^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$9-y=\frac{8}{y}$$

$$9y-y^2=8$$

$$y^2-9y+8=0$$

$$y_1=1,\quad y_2=8$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$2^x=8 \Rightarrow x=3.$$

б) $$\log_2(25^{x+3}-1)=2+\log_2(5^{x+3}+1)$$

Положим $$y=5^{x+3},\quad y>0.$$ Тогда $$25^{x+3}=y^2,$$ и уравнение примет вид

$$\log_2(y^2-1)=\log_2 4+\log_2(y+1)=\log_2\bigl(4(y+1)\bigr).$$

Следовательно,

$$y^2-1=4(y+1)$$

$$y^2-4y-5=0$$

$$(y-5)(y+1)=0.$$

Так как $$y>0,$$ то $$y=5.$$ Тогда

$$5^{x+3}=5 \Rightarrow x+3=1 \Rightarrow x=-2.$$

в) $$\log_4(2\cdot 4^{x-2}-1)=2x-4$$

По определению логарифма:

$$2\cdot 4^{x-2}-1=4^{2x-4}.$$

Преобразуем:

$$2\cdot \frac{4^x}{16}-1=\frac{4^{2x}}{256}$$

$$\frac{1}{8}4^x-1=\frac{1}{256}4^{2x}$$

Умножим на $$256$$:

$$32\cdot 4^x-256=4^{2x}$$

Положим $$t=4^x>0.$$ Тогда

$$t^2-32t+256=0$$

$$(t-16)^2=0,$$

откуда $$t=16.$$ Значит,

$$4^x=16 \Rightarrow x=2.$$

Проверка области определения: $$2\cdot 4^{x-2}-1>0$$ при $$x=2$$ выполняется.

г) $$\log_2(4^x+4)=\log_2 2^x+\log_2(2^{x+1}-3)$$

Объединим логарифмы справа:

$$\log_2(4^x+4)=\log_2\bigl(2^x(2^{x+1}-3)\bigr).$$

Тогда

$$4^x+4=2^x(2^{x+1}-3).$$

Положим $$y=2^x>0.$$ Тогда $$4^x=y^2,$$ и получаем

$$y^2+4=y(2y-3)$$

$$y^2-3y-4=0$$

$$(y-4)(y+1)=0.$$

Так как $$y>0,$$ то $$y=4.$$ Следовательно,

$$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

Проверка области определения: $$2^{x+1}-3>0$$ при $$x=2$$ выполняется.

Ответ

а) $$x=0,\;3$$; б) $$x=-2$$; в) $$x=2$$; г) $$x=2$$.