Упр.523 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\log_a x=\log_{\sqrt a}2+\log_{1/a}3.$$
По определению логарифма: $$a>0,\ a\ne1,\ x>0.$$
Перейдём к основанию $$a$$:
$$\log_a x=\frac{\log_a 2}{\log_a \sqrt a}+\frac{\log_a 3}{\log_a \frac1a}$$
Так как $$\log_a \sqrt a=\frac12$$, а $$\log_a \frac1a=-1$$, получаем:
$$\log_a x=2\log_a 2-\log_a 3=\log_a 4-\log_a 3=\log_a \frac43.$$
Следовательно, $$x=\frac43.$$
б) $$\log_x 2-\log_4 x+\frac76=0.$$
По определению логарифма: $$x>0,\ x\ne1.$$
Перейдём к основанию $$2$$:
$$\log_x 2=\frac1{\log_2 x},\qquad \log_4 x=\frac{\log_2 x}{\log_2 4}=\frac{\log_2 x}{2}.$$
Обозначим $$y=\log_2 x$$. Тогда
$$\frac1y-\frac y2+\frac76=0.$$
Умножим на $$6y$$:
$$6-3y^2+7y=0,$$
$$3y^2-7y-6=0.$$
$$D=49+72=121,$$
$$y_{1,2}=\frac{7\pm11}{6}.$$
Отсюда $$y_1=3,\ y_2=-\frac23.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\log_2 x=3 \Rightarrow x=8,$$
$$\log_2 x=-\frac23 \Rightarrow x=2^{-2/3}=\frac1{\sqrt[3]{4}}.$$
в) $$\log_3 x-2\log_{1/3}x=6.$$
По определению логарифма: $$x>0.$$
Так как $$\log_{1/3}x=\frac{\log_3 x}{\log_3(1/3)}=-\log_3 x,$$ то
$$\log_3 x-2(-\log_3 x)=6,$$
$$3\log_3 x=6,$$
$$\log_3 x=2,$$
$$x=9.$$
г) $$\log_{25}x+\log_5 x=\log_{1/5}\sqrt8.$$
По определению логарифма: $$x>0.$$
Перейдём к основанию $$5$$:
$$\log_{25}x=\frac{\log_5 x}{\log_5 25}=\frac12\log_5 x,$$
$$\log_{1/5}\sqrt8=\frac{\log_5 \sqrt8}{\log_5(1/5)}=-\log_5 \sqrt8.$$
Тогда
$$\frac12\log_5 x+\log_5 x=-\log_5 \sqrt8,$$
$$\frac32\log_5 x=-\log_5 \sqrt8.$$
Так как $$\log_5 \sqrt8=\frac12\log_5 8,$$ получаем:
$$\log_5 x=-\frac13\log_5 \sqrt8=\log_5 8^{-1/6}.$$
Следовательно,
$$x=8^{-1/6}=\frac1{\sqrt2}.$$
Ответ
а) $$x=\frac43$$; б) $$x=8,\ x=\frac1{\sqrt[3]{4}}$$; в) $$x=9$$; г) $$x=\frac1{\sqrt2}$$.
