Упр.522 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Введём новую неизвестную $$y=\lg x+1.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$\frac{1}{y}+\frac{6}{y+4}=1.$$

Умножим на $$y(y+4)$$:

$$y+4+6y=y(y+4),$$

$$7y+4=y^2+4y,$$

$$y^2-3y-4=0.$$

$$y_1=-1,\quad y_2=4.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\lg x+1=-1 \Rightarrow \lg x=-2 \Rightarrow x=10^{-2}=\frac{1}{100},$$

$$\lg x+1=4 \Rightarrow \lg x=3 \Rightarrow x=10^3=1000.$$

Ответ: $$\frac{1}{100};\ 1000.$$

б) Используем свойства логарифмов:

$$\log_2\frac{x}{4}=\log_2 x-\log_2 4=\log_2 x-2.$$

Тогда

$$\log_2 x-2=\frac{15}{\log_2\frac{x}{8}-1}=\frac{15}{\log_2 x-3-1}=\frac{15}{\log_2 x-4}.$$

Обозначим $$y=\log_2 x.$$ Получаем

$$y-2=\frac{15}{y-4}.$$

$$(y-2)(y-4)=15,$$

$$y^2-6y+8=15,$$

$$y^2-6y-7=0.$$

$$y_1=-1,\quad y_2=7.$$

Тогда

$$\log_2 x=-1 \Rightarrow x=\frac{1}{2},$$

$$\log_2 x=7 \Rightarrow x=128.$$

Ответ: $$\frac{1}{2};\ 128.$$

в) Область допустимых значений:

$$5x-4>0,\quad 5x-4\neq 1,$$

то есть $$x>\frac{4}{5},\ x\neq 1.$$

Преобразуем уравнение:

$$\frac{2\lg x}{\lg(5x-4)}=1 \Rightarrow 2\lg x=\lg(5x-4).$$

Так как $$2\lg x=\lg x^2,$$ то

$$\lg x^2=\lg(5x-4).$$

Следовательно,

$$x^2=5x-4,$$

$$x^2-5x+4=0,$$

$$x_1=4,\quad x_2=1.$$

Число $$x=1$$ не подходит, так как при нём $$\lg(5x-4)=\lg 1=0.$$

Ответ: $$4.$$

г) Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{\lg x-6}+\frac{5}{\lg x+2}=1.$$

Область допустимых значений:

$$\lg x\neq 6,\quad \lg x\neq -2.$$

Умножим на $$(\lg x-6)(\lg x+2)$$:

$$\lg x+2+5(\lg x-6)=(\lg x-6)(\lg x+2).$$

Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

$$y+2+5y-30=(y-6)(y+2),$$

$$6y-28=y^2-4y-12,$$

$$y^2-10y+16=0.$$

$$y_1=2,\quad y_2=8.$$

Тогда

$$\lg x=2 \Rightarrow x=100,$$

$$\lg x=8 \Rightarrow x=10^8.$$

Ответ: $$100;\ 10^8.$$