Упр.521 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Из второго уравнения получаем:

$$\lg x+\lg y=\lg(xy)=1,$$

откуда

$$xy=10.$$

Тогда система равносильна:

$$\begin{cases} x+y=7,\\ xy=10. \end{cases}$$

Пусть $$y=7-x$$. Подставим во второе уравнение:

$$x(7-x)=10,$$

$$x^2-7x+10=0,$$

$$(x-2)(x-5)=0.$$

Следовательно, $$x=2$$ или $$x=5$$. Тогда соответственно $$y=5$$ или $$y=2$$.

Ответ: $$(2;5)$$ и $$(5;2).$$

б) Преобразуем уравнения системы:

$$\log_4(x+y)=2 \;\Rightarrow\; x+y=4^2=16,$$

$$\log_3 x+\log_3 y=2+\log_3 7 \;\Rightarrow\; \log_3(xy)=\log_3(9\cdot 7),$$

откуда

$$xy=63.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} x+y=16,\\ xy=63. \end{cases}$$

Пусть $$y=16-x$$. Тогда

$$x(16-x)=63,$$

$$x^2-16x+63=0,$$

$$(x-7)(x-9)=0.$$

Значит, $$x=7$$ или $$x=9$$. Тогда $$y=9$$ или $$y=7$$.

Ответ: $$(7;9)$$ и $$(9;7).$$

в) Из второго уравнения:

$$\log_2 x+\log_2 y=6 \;\Rightarrow\; \log_2(xy)=\log_2 64,$$

значит

$$xy=64.$$

Тогда

$$\begin{cases} x+y=34,\\ xy=64. \end{cases}$$

Пусть $$y=34-x$$. Подставим во второе уравнение:

$$x(34-x)=64,$$

$$x^2-34x+64=0,$$

$$(x-2)(x-32)=0.$$

Следовательно, $$x=2$$ или $$x=32$$, а значит, $$y=32$$ или $$y=2$$.

Ответ: $$(2;32)$$ и $$(32;2).$$

г) Из первого уравнения:

$$\log_4 x-\log_4 y=0 \;\Rightarrow\; \log_4\frac{x}{y}=0,$$

откуда

$$\frac{x}{y}=1,\quad x=y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2-5y^2+4=0,$$

$$x^2-5x^2+4=0,$$

$$-4x^2+4=0,$$

$$x^2=1.$$

Так как $$x>0$$ и $$y>0$$, получаем $$x=1$$, значит $$y=1$$.

Ответ: $$(1;1).$$