Упр.520 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Положим в каждом уравнении новую переменную и сведём его к квадратному.

Ход решения

1. $$\left(\log_4 x\right)^2+\log_4\sqrt{x}-1{,}5=0$$

   Так как $$\log_4\sqrt{x}=\frac12\log_4 x,$$ получаем

   $$\left(\log_4 x\right)^2+\frac12\log_4 x-1{,}5=0.$$

   Обозначим $$t=\log_4 x.$$ Тогда

   $$t^2+\frac12t-1{,}5=0,$$

   $$2t^2+t-3=0.$$

   $$D=1+24=25,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-1\pm5}{4}.$$

   Отсюда $$t_1=1,\quad t_2=-\frac32.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_4 x=1 \Rightarrow x=4,$$

   $$\log_4 x=-\frac32 \Rightarrow x=4^{-3/2}=\frac18.$$

2. $$\left(\lg x\right)^2-\lg x^2+1=0$$

   Так как $$\lg x^2=2\lg x,$$ имеем

   $$\left(\lg x\right)^2-2\lg x+1=0.$$

   Обозначим $$t=\lg x.$$ Тогда

   $$t^2-2t+1=0,$$

   $$\left(t-1\right)^2=0,$$

   $$t=1.$$

   Следовательно,

   $$\lg x=1 \Rightarrow x=10.$$

3. $$\left(\log_5 x\right)^2-\log_5 x=2$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\left(\log_5 x\right)^2-\log_5 x-2=0.$$

   Обозначим $$t=\log_5 x.$$ Тогда

   $$t^2-t-2=0,$$

   $$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0.$$

   Отсюда $$t_1=2,\quad t_2=-1.$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$\log_5 x=2 \Rightarrow x=25,$$

   $$\log_5 x=-1 \Rightarrow x=\frac15.$$

4. $$\left(\log_3 x\right)^2-2\log_3 x-3=0$$

   Обозначим $$t=\log_3 x.$$ Тогда

   $$t^2-2t-3=0,$$

   $$\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0.$$

   Следовательно, $$t_1=3,\quad t_2=-1.$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$\log_3 x=3 \Rightarrow x=27,$$

   $$\log_3 x=-1 \Rightarrow x=\frac13.$$

Ответ

а) $$x=4,\ \frac18$$; б) $$x=10$$; в) $$x=25,\ \frac15$$; г) $$x=27,\ \frac13$$.