Упр.52 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Область определения функции $$y=f(x)$$ — отрезок $$[-1;2]$$. Найдите область определения функции:
- а) $$y=f(x)+1$$; б) $$y=f(x+1)$$; в) $$y=2f(x)$$; г) $$y=f(2x)$$; д) $$y=f(-x)$$; е) $$y=-f(x)$$; ж) $$y=|f(x)|$$; з) $$y=f(|x|)$$; и) $$y=f(1-x)$$; к) $$y=f(1-|x|)$$; л) $$y=f(\sqrt{x})$$; м) $$y=f(x^2)$$.
Область определения исходной функции: $$D_f=[-1;2].$$
- $$y=f(x)+1$$
Прибавление числа к значению функции не меняет область определения, поэтому
$$D=[-1;2].$$
- $$y=f(x+1)$$
Нужно, чтобы
$$-1\le x+1\le 2,$$
откуда
$$-2\le x\le 1.$$
Значит, $$D=[-2;1].$$
- $$y=2f(x)$$
Множитель перед функцией область определения не изменяет:
$$D=[-1;2].$$
- $$y=f(2x)$$
Требуется, чтобы
$$-1\le 2x\le 2,$$
следовательно,
$$-\frac12\le x\le 1.$$
Значит, $$D=\left[-\frac12;1\right].$$
- $$y=f(-x)$$
Нужно, чтобы
$$-1\le -x\le 2,$$
откуда
$$-2\le x\le 1.$$
Значит, $$D=[-2;1].$$
- $$y=-f(x)$$
Знак «минус» перед функцией область определения не меняет:
$$D=[-1;2].$$
- $$y=|f(x)|$$
Модуль значения функции область определения не изменяет:
$$D=[-1;2].$$
- $$y=f(|x|)$$
Требуется, чтобы
$$-1\le |x|\le 2.$$
Так как $$|x|\ge 0,$$ то достаточно условия
$$|x|\le 2,$$
то есть
$$-2\le x\le 2.$$
Значит, $$D=[-2;2].$$
- $$y=f(1-x)$$
Нужно, чтобы
$$-1\le 1-x\le 2,$$
откуда
$$-2\le -x\le 1,$$
$$-1\le x\le 2.$$
Значит, $$D=[-1;2].$$
- $$y=f(1-|x|)$$
Требуется, чтобы
$$-1\le 1-|x|\le 2.$$
Левая часть выполняется всегда, а из правой получаем
$$|x|\le 2.$$
Следовательно,
$$-2\le x\le 2.$$
Значит, $$D=[-2;2].$$
- $$y=f(\sqrt{x})$$
Нужно, чтобы
$$-1\le \sqrt{x}\le 2.$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то достаточно
$$0\le \sqrt{x}\le 2,$$
откуда
$$0\le x\le 4.$$
Значит, $$D=[0;4].$$
- $$y=f(x^2)$$
Требуется, чтобы
$$-1\le x^2\le 2.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ то достаточно
$$x^2\le 2,$$
следовательно,
$$-\sqrt2\le x\le \sqrt2.$$
Значит, $$D=[-\sqrt2;\sqrt2].$$
