Упр.52 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Так как $$EF \parallel AC,$$ то $$\triangle EBF \sim \triangle DBC.$$ Поэтому

$$\frac{EF}{AC}=\frac{BK}{BD}.$$

Так как $$AC=b,$$ $$BK=x,$$ $$BD=h,$$ то

$$\frac{EF}{b}=\frac{x}{h},$$

откуда

$$EF=\frac{bx}{h}.$$

Площадь треугольника $$EBF$$:

$$S_1=\frac12 \cdot EF \cdot BK=\frac12 \cdot \frac{bx}{h}\cdot x=\frac{bx^2}{2h}.$$

Площадь трапеции $$AEFC$$:

$$S_2=S_{\triangle ABC}-S_1=\frac{bh}{2}-\frac{bx^2}{2h}=\frac{b(h^2-x^2)}{2h}.$$

б) Площадь соответствующего сегмента равна площади сектора минус площадь треугольника с двумя радиусами и углом $$x$$:

$$S=\frac{xR^2}{2}.$$

в) Длина дуги сектора равна $$l=r\alpha$$, поэтому периметр сектора:

$$P=2r+l=2r+r\alpha=r(\alpha+2).$$

г) Диагональ квадрата равна

$$|AC|=|BD|=a\sqrt2.$$

Если меньший отрезок диагонали равен $$x,$$ то площадь меньшей фигуры пропорциональна квадрату этого отрезка:

$$S_1=x^2.$$

Тогда площадь второй фигуры равна

$$S_2=a^2-x^2.$$

Следовательно, зависимость площадей фигур от $$x$$ задаётся формулами

$$S_1=x^2,\qquad S_2=a^2-x^2.$$