Упр.519 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Область определения: $$x-4>0,\quad 2x-1>0.$$

Тогда $$x>4.$$

Умножим уравнение на $$2$$:

$$\log_2(x-4)+\log_2(2x-1)=\log_2 9.$$

По свойству логарифмов:

$$\log_2\bigl((x-4)(2x-1)\bigr)=\log_2 9,$$

значит,

$$(x-4)(2x-1)=9.$$

$$2x^2-9x+4=9$$

$$2x^2-9x-5=0$$

$$x_1=5,\quad x_2=-\frac12.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=5$$.

б) Область определения: $$3x+4>0.$$

Используем свойство логарифмов:

$$\lg(3x^2+12x+19)-\lg(3x+4)=\lg\frac{3x^2+12x+19}{3x+4}.$$

Тогда

$$\lg\frac{3x^2+12x+19}{3x+4}=1=\lg 10,$$

следовательно,

$$\frac{3x^2+12x+19}{3x+4}=10.$$

$$3x^2+12x+19=30x+40$$

$$3x^2-18x-21=0$$

$$x^2-6x-7=0$$

$$x_1=7,\quad x_2=-1.$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, значит, $$x=-1,\;7$$.

в) Область определения: $$x^2+2x-7>0,\quad x-1>0.$$

Из второго неравенства получаем $$x>1$$, и при этом первое также выполняется.

Преобразуем уравнение:

$$\lg(x^2+2x-7)-\lg(x-1)=\lg 1.$$

Значит,

$$\lg\frac{x^2+2x-7}{x-1}=\lg 1,$$

откуда

$$\frac{x^2+2x-7}{x-1}=1.$$

$$x^2+2x-7=x-1$$

$$x^2+x-6=0$$

$$x_1=-3,\quad x_2=2.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=2$$.

г) Область определения: $$x^2+8>0,\quad x+1>0.$$

Следовательно, $$x>-1$$.

Используем свойства логарифмов:

$$\log_5(x^2+8)-\log_5(x+1)=\log_5 2^3=\log_5 8.$$

Тогда

$$\log_5\frac{x^2+8}{x+1}=\log_5 8,$$

значит,

$$\frac{x^2+8}{x+1}=8.$$

$$x^2+8=8x+8$$

$$x^2-8x=0$$

$$x(x-8)=0$$

$$x_1=0,\quad x_2=8.$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

а) $$5$$; б) $$-1,\;7$$; в) $$2$$; г) $$0,\;8$$.