Упр.518 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_a x=2\log_a 3+\log_a 5.$$

По свойствам логарифмов:

$$2\log_a 3=\log_a 3^2=\log_a 9,$$

тогда

$$\log_a x=\log_a 9+\log_a 5=\log_a 45.$$

Следовательно, $$x=45.$$

б) $$\lg(x-9)+\lg(2x-1)=2.$$

ОДЗ: $$x-9>0,\quad 2x-1>0,$$ откуда $$x>9.$$

Сложим логарифмы:

$$\lg\bigl((x-9)(2x-1)\bigr)=2=\lg 100.$$

Значит,

$$(x-9)(2x-1)=100.$$

Раскроем скобки:

$$2x^2-19x+9=100,$$

$$2x^2-19x-91=0.$$

$$D=19^2-4\cdot 2\cdot(-91)=361+728=1089,$$

$$\sqrt{D}=33.$$

Тогда

$$x=\frac{19\pm 33}{4},$$

$$x_1=13,\quad x_2=-\frac{7}{2}.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=13.$$

в) $$\log_a x=\log_a 10-\log_a 2.$$

По свойствам логарифмов:

$$\log_a 10-\log_a 2=\log_a \frac{10}{2}=\log_a 5.$$

Следовательно, $$x=5.$$

г) $$\log_3(x+1)+\log_3(x+3)=1.$$

ОДЗ: $$x+1>0,\quad x+3>0,$$ значит $$x>-1.$$

Сложим логарифмы:

$$\log_3\bigl((x+1)(x+3)\bigr)=1=\log_3 3.$$

Тогда

$$(x+1)(x+3)=3.$$

$$x^2+4x+3=3,$$

$$x^2+4x=0,$$

$$x(x+4)=0.$$

Отсюда $$x_1=0,\quad x_2=-4.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=0.$$

Ответ: а) $$45$$; б) $$13$$; в) $$5$$; г) $$0$$.