Упр.517 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_4(x-2)<2.$$

Область определения: $$x-2>0,$$ то есть $$x>2.$$

Представим число $$2$$ в виде логарифма по основанию $$4$$:

$$2=\log_4 16.$$

Тогда

$$\log_4(x-2)<\log_4 16.$$

Так как $$4>1,$$ логарифмическая функция возрастает, значит

$$x-2<16,$$

$$x<18.$$

С учётом ОДЗ получаем:

$$x\in(2;18).$$

б) $$\log_{\frac13}(3-2x)>-1.$$

Область определения: $$3-2x>0,$$ то есть $$x<\frac32.$$

Представим число $$-1$$ в виде логарифма по основанию $$\frac13$$:

$$-1=\log_{\frac13}3.$$

Тогда

$$\log_{\frac13}(3-2x)>\log_{\frac13}3.$$

Так как $$0<\frac13<1,$$ логарифмическая функция убывает, значит знак неравенства меняется:

$$3-2x<3,$$

$$x>0.$$

С учётом ОДЗ:

$$x\in\left(0;\frac32\right).$$

в) $$\log_5(3x+1)>2.$$

Область определения: $$3x+1>0,$$ то есть $$x>-\frac13.$$

Представим число $$2$$ в виде логарифма по основанию $$5$$:

$$2=\log_5 25.$$

Тогда

$$\log_5(3x+1)>\log_5 25.$$

Так как $$5>1,$$ функция возрастает, значит

$$3x+1>25,$$

$$x>8.$$

Следовательно,

$$x\in(8;\infty).$$

г) $$\log_{\frac17}(4x+1)<-2.$$

Область определения: $$4x+1>0,$$ то есть $$x>-\frac14.$$

Представим число $$-2$$ в виде логарифма по основанию $$\frac17$$:

$$-2=\log_{\frac17}49.$$

Тогда

$$\log_{\frac17}(4x+1)<\log_{\frac17}49.$$

Так как $$0<\frac17<1,$$ функция убывает, значит знак неравенства меняется:

$$4x+1>49,$$

$$x>12.$$

Следовательно,

$$x\in(12;\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(2;18);$$ б) $$x\in\left(0;\frac32\right);$$ в) $$x\in(8;\infty);$$ г) $$x\in(12;\infty).$$