Упр.508 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\log_3 x=2\log_9 6-\log_9 12.$$
Преобразуем правую часть:
$$2\log_9 6-\log_9 12=\log_9 6^2-\log_9 12=\log_9\frac{36}{12}=\log_9 3=\frac12.$$
Тогда $$\log_3 x=\frac12,$$ откуда
$$x=3^{1/2}=\sqrt3.$$
б) $$\log_{\frac12} x=\log_{0,2}35-2\log_{0,2}(25\sqrt7).$$
Преобразуем правую часть:
$$\log_{0,2}35-2\log_{0,2}(25\sqrt7)=\log_{0,2}35-\log_{0,2}(25\sqrt7)^2$$
$$=\log_{0,2}\frac{35}{(25\sqrt7)^2}=\log_{0,2}\frac{35}{25^2\cdot 7}=\log_{0,2}\frac{1}{125}.$$
Так как $$0,2=\frac15,$$ то
$$\log_{0,2}\frac{1}{125}=\log_{\frac15}\left(\frac15\right)^3=3.$$
Следовательно, $$\log_{\frac12}x=3,$$ значит
$$x=\left(\frac12\right)^3=\frac18.$$
в) $$\log_5 x=\frac12\log_3 144+\log_3 0,75.$$
Преобразуем правую часть:
$$\frac12\log_3 144+\log_3 0,75=\log_3 144^{1/2}+\log_3 0,75=\log_3(12\cdot 0,75)=\log_3 9=2.$$
Тогда $$\log_5 x=2,$$ откуда
$$x=5^2=25.$$
г) $$\log_\pi x=3\log_{0,1}4+2\log_{0,1}1\frac14.$$
Преобразуем правую часть:
$$3\log_{0,1}4+2\log_{0,1}1\frac14=\log_{0,1}4^3+\log_{0,1}\left(\frac54\right)^2$$
$$=\log_{0,1}\left(64\cdot\frac{25}{16}\right)=\log_{0,1}100.$$
Так как $$100=(0,1)^{-2},$$ то
$$\log_{0,1}100=-2.$$
Следовательно, $$\log_\pi x=-2,$$ значит
$$x=\pi^{-2}=\frac{1}{\pi^2}.$$
Ответ
а) $$\sqrt3$$; б) $$\frac18$$; в) $$25$$; г) $$\frac{1}{\pi^2}$$.
