Упр.506 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Используем свойства логарифмов.

1. $$\log_2 2\sin\frac{\pi}{15}+\log_2 \cos\frac{\pi}{15}=\log_2\left(2\sin\frac{\pi}{15}\cos\frac{\pi}{15}\right).$$

   По формуле $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$ получаем:

   $$\log_2\left(2\sin\frac{\pi}{15}\cos\frac{\pi}{15}\right)=\log_2\sin\frac{2\pi}{15}.$$

2. $$\log_4\left(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}\right)+\log_4\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9}\right)$$

   Объединим логарифмы:

   $$=\log_4\left[\left(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}\right)\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9}\right)\right].$$

   Положим $$a=\sqrt[3]{7},\; b=\sqrt[3]{3}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{49}=a^2,\; \sqrt[3]{21}=ab,\; \sqrt[3]{9}=b^2,$$ и

   $$\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3=7-3=4.$$

   Следовательно,

   $$\log_4 4=1.$$

3. $$\lg \tg 4+\lg \ctg 4=\lg(\tg 4\cdot \ctg 4)=\lg 1=0.$$

4. $$\log_\pi(5+2\sqrt6)+\log_\pi(5-2\sqrt6)=\log_\pi\bigl((5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6)\bigr).$$

   По формуле разности квадратов:

   $$(5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6)=25-24=1.$$

   Тогда

   $$\log_\pi 1=0.$$

Ответ: а) $$\log_2\sin\frac{2\pi}{15}$$; б) $$1$$; в) $$0$$; г) $$0$$.