Упр.505 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Область определения логарифмического выражения задаётся условием, что его аргумент положителен.

1. $$\log_2(\sin x)$$

   Требуется:

   $$\sin x>0$$

   Отсюда

   $$x\in(2\pi n;\,\pi+2\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\log_3(2^x-1)$$

   Требуется:

   $$2^x-1>0$$
   $$2^x>1$$

   Так как основание $$2>1$$, получаем

   $$x>0.$$

   Значит,

   $$x\in(0;\,+\infty).$$

3. $$\log_{\frac12}(\cos x)$$

   Требуется:

   $$\cos x>0$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\lg(1-3^x)$$

   Требуется:

   $$1-3^x>0$$
   $$1>3^x$$
   $$3^0>3^x$$

   Так как основание $$3>1$$, получаем

   $$x<0.$$

   Значит,

   $$x\in(-\infty;\,0).$$

Ответ

а) $$x\in(2\pi n;\,\pi+2\pi n),\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x\in(0;\,+\infty)$$;
в) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x\in(-\infty;\,0).$$