Упр.50 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Упростите выражения:

а) $$\frac{x-1}{x+x^{1/2}+1}:\frac{x^{0,5}+1}{x^{1,5}-1}+\frac{2}{x^{-0,5}}$$;
б) $$\left(a^{1/2}b^{1/2}-\frac{ab}{a+a^{1/2}b^{1/2}}\right):\frac{(ab)^{1/4}-b^{1/2}}{a-b}$$;
в) $$\left(\frac{2x+x^{1/2}y^{1/2}}{3x}\right)^{-1}\cdot\left(\frac{x^{3/2}-y^{3/2}}{x-x^{1/2}y^{1/2}}-\frac{x-y}{x^{1/2}+y^{1/2}}\right)$$;
г) $$\left(\frac{1-c^{-2}}{c^{1/2}-c^{-1/2}}-\frac{2c^{1/2}}{c^2}+\frac{c^{-2}-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}}\right)\cdot\left(1+\frac{2}{c^2}\right)^{-2}$$.

Подробный ответ

а) $$\frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}-1}+\frac{2}{x^{-1/2}}$$

Преобразуем деление в умножение и разложим знаменатель:

$$\frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1}\cdot \frac{x\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}+2\sqrt{x}$$

Так как $$x\sqrt{x}-1=(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1),$$ получаем

$$\frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1}\cdot \frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1}+2\sqrt{x}$$

Сокращаем:

$$\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}(\sqrt{x}-1)+2\sqrt{x}$$

Так как $$x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1),$$ то

$$(\sqrt{x}-1)^2+2\sqrt{x}=x-2\sqrt{x}+1+2\sqrt{x}=x+1$$

б) $$\left(\sqrt{a}\sqrt{b}-\frac{ab}{a+\sqrt{a}\sqrt{b}}\right):\frac{(ab)^{1/4}-\sqrt{b}}{a-b}$$

Преобразуем выражение:

$$\left(\sqrt{ab}-\frac{ab}{a+\sqrt{ab}}\right)\cdot \frac{a-b}{(ab)^{1/4}-\sqrt{b}}$$

В первой скобке приводим к общему знаменателю:

$$\sqrt{ab}-\frac{ab}{a+\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{ab}(a+\sqrt{ab})-ab}{a+\sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}}$$

Тогда

$$\frac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}}\cdot \frac{a-b}{(ab)^{1/4}-\sqrt{b}}$$

Заметим, что

$$a-b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}), \qquad a+\sqrt{ab}=\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}),$$

а также

$$(ab)^{1/4}-\sqrt{b}=b^{1/4}(a^{1/4}-b^{1/4}).$$

После сокращений получаем

$$ab^{1/4}(a^{1/4}+b^{1/4})$$

в) $$\left(\frac{2x+\sqrt{x}\sqrt{y}}{3x}\right)^{-1}\cdot \left(\frac{x^{3/2}-y^{3/2}}{x-\sqrt{x}\sqrt{y}}-\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)$$

Первый множитель:

$$\left(\frac{2x+\sqrt{x}\sqrt{y}}{3x}\right)^{-1} = \frac{3x}{2x+\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{3x}{\sqrt{x}(2\sqrt{x}+\sqrt{y})}$$

Во второй скобке вынесем множители:

$$\frac{x^{3/2}-y^{3/2}}{x-\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{x}\sqrt{y}+y)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})} = \frac{x+\sqrt{x}\sqrt{y}+y}{\sqrt{x}}$$

$$\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \sqrt{x}-\sqrt{y}.$$

Тогда

$$\frac{x+\sqrt{x}\sqrt{y}+y}{\sqrt{x}}-(\sqrt{x}-\sqrt{y}) = \frac{y+\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \sqrt{y}\cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$$

После умножения получаем

$$\frac{3x}{\sqrt{x}(2\sqrt{x}+\sqrt{y})}\cdot \sqrt{y}\cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}} =3\sqrt{y}$$

г) $$\left(\frac{1-c^{-2}}{c^{1/2}-c^{-1/2}}-\frac{2c^{1/2}}{c^2}+\frac{c^{-2}-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}}\right)\cdot \left(1+\frac{2}{c^2}\right)^{-2}$$

Сложим дроби в первой скобке:

$$\frac{1-c^{-2}+c^{-2}-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}}-\frac{2}{c^{3/2}} = \frac{1-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}}-\frac{2}{c^{3/2}}$$

Так как

$$c^{1/2}-c^{-1/2}=\frac{c-1}{c^{1/2}},$$

то

$$\frac{1-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}} = -\frac{c^{1/2}(c-1)}{c-1} = -c^{1/2}.$$

Следовательно,

$$-c^{1/2}-\frac{2}{c^{3/2}} = -\frac{c^2+2}{c^{3/2}}.$$

Вторая скобка: