Упр.50 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите сумму:
а) $$1+11+\ldots+111\ldots1$$ — n единиц;
б) $$x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n$$;
в) $$\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}+\ldots+\frac{1}{(k+n-1)(k+n)}$$;
г) $$\sin(x)+\sin(2x)+\ldots+\sin(nx)$$.
а) Представим каждое число из единиц в виде разности:
$$1=\frac{10-1}{9},\quad 11=\frac{100-1}{9},\quad \ldots,\quad \underbrace{11\ldots1}_{n\ \text{единиц}}=\frac{10^n-1}{9}.$$
Тогда
$$\begin{aligned} 1+11+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\ \text{единиц}} &=\frac{1}{9}\bigl((10-1)+(10^2-1)+\cdots+(10^n-1)\bigr)\\ &=\frac{1}{9}\left((10+10^2+\cdots+10^n)-n\right)\\ &=\frac{1}{9}\left(\frac{10(10^n-1)}{10-1}-n\right)\\ &=\frac{10^{n+1}-10-9n}{81}. \end{aligned}$$
б) Обозначим
$$S=x+2x^2+3x^3+\cdots+nx^n.$$
Тогда
$$xS=x^2+2x^3+\cdots+(n-1)x^n+nx^{n+1}.$$
Вычтем:
$$\begin{aligned} S-xS&=x+x^2+\cdots+x^n-nx^{n+1},\\ S(1-x)&=\frac{x(x^n-1)}{x-1}-nx^{n+1}. \end{aligned}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$S(1-x)=\frac{x^{n+1}-x-nx^{n+2}+nx^{n+1}}{x-1},$$
откуда
$$S=\frac{x\bigl(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\bigr)}{(x-1)^2}.$$
в) Разложим каждую дробь на разность:
$$\frac{1}{(k+i)(k+i+1)}=\frac{1}{k+i}-\frac{1}{k+i+1}.$$
Тогда
$$\begin{aligned} \frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}+\cdots+\frac{1}{(k+n-1)(k+n)} &=\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)+\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{k+n-1}-\frac{1}{k+n}\right)\\ &=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n}. \end{aligned}$$
г) Используем формулу
$$2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b).$$
Тогда
$$\begin{aligned} 2\sin\frac{x}{2}\,(\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx) &=\bigl(\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2}\bigr)+\bigl(\cos\frac{3x}{2}-\cos\frac{5x}{2}\bigr)+\cdots+\bigl(\cos\frac{(2n-1)x}{2}-\cos\frac{(2n+1)x}{2}\bigr)\\ &=\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{(2n+1)x}{2}. \end{aligned}$$
Следовательно,
$$\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx =\frac{\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{(2n+1)x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}}.$$
По формуле разности косинусов получаем:
$$\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx =\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}\,\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}.$$
Ответ
а) $$\frac{10^{n+1}-10-9n}{81}$$;
б) $$\frac{x\bigl(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\bigr)}{(x-1)^2}$$;
в) $$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n}$$;
г) $$\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}\,\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$$.
