Упр.5 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- а) Найдите корни уравнения $$a^x=a^c$$ ($$a>0$$, $$a\ne1$$).
б) Решите неравенство $$a^x>a^c$$ (рассмотрите два случая: $$0 - Решите уравнение:
а) $$27^x=9^{\frac{1}{5}}$$;
б) $$9^{x+1}+3^{x+2}=18$$;
в) $$0{,}5^{x^2+x-2{,}5}=\sqrt{2}$$;
г) $$3^{x+2}-3^x=72$$. - Решите неравенство:
а) $$5^{x^2-1}>\frac{1}{5}$$;
б) $$0{,}2^{x^2-2}>5$$;
в) $$3^x<\frac{1}{9}$$;
г) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{x+1}>4$$.
1) При $$a>0,\ a\ne 1$$ функция $$a^x$$ строго монотонна:
- если $$a>1,$$ то она возрастает;
- если $$0<a<1,$$ то она убывает.
Поэтому из равенства $$a^x=a^c$$ получаем $$x=c$$.
Из неравенства $$a^x>a^c$$ следует:
- при $$a>1$$: $$x>c$$;
- при $$0<a<1$$: $$x<c$$.
Ход решения
2) Решим уравнения.
$$27^x=9^{1/5}$$
$$3^{3x}=3^{2/5}$$
$$3x=\frac{2}{5}, \quad x=\frac{2}{15}.$$
$$9^{x+1}+3^{x+2}=18$$
$$9\cdot 3^{2x}+9\cdot 3^x-18=0$$
$$3^{2x}+3^x-2=0.$$
Обозначим $$t=3^x$$, тогда $$t^2+t-2=0$$, откуда
$$t_1=1,\quad t_2=-2.$$
Так как $$3^x>0,$$ то подходит только $$t=1$$:
$$3^x=1,\quad x=0.$$
$$0{,}5^{x^2+x-2{,}5}=\sqrt{2}$$
$$2^{-x^2-x+2{,}5}=2^{1/2}$$
$$-x^2-x+2{,}5=\frac12$$
$$x^2+x-2=0$$
$$x_1=-2,\quad x_2=1.$$
$$3^{x+2}-3^x=72$$
$$9\cdot 3^x-3^x=72$$
$$8\cdot 3^x=72$$
$$3^x=9=3^2,\quad x=2.$$
3) Решим неравенства.
$$5^{x^2-1}>\frac15$$
$$5^{x^2-1}>5^{-1}$$
Так как $$5>1,$$ получаем
$$x^2-1>-1,\quad x^2>0,\quad x\ne 0.$$
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
$$0{,}2^{x^2-2}>5$$
$$5^{2-x^2}>5$$
Так как $$5>1,$$ то
$$2-x^2>1,\quad x^2-1<0.$$
$$(x+1)(x-1)<0,$$
откуда
$$-1<x<1.$$
$$3^x<\frac19$$
$$3^x<3^{-2}$$
Так как $$3>1,$$ то
$$x<-2.$$
$$\left(\frac12\right)^{x+1}>4$$
$$2^{-x-1}>2^2$$
Так как основание $$2>1,$$ получаем
$$-x-1>2,\quad -x>3,\quad x<-3.$$
Ответ
1) $$x=c$$; при $$a>1$$ — $$x>c$$, при $$0<a<1$$ — $$x<c$$.
2) а) $$\frac{2}{15}$$; б) $$0$$; в) $$-2,\ 1$$; г) $$2$$.
3) а) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; б) $$(-1;1)$$; в) $$(-\infty;-2)$$; г) $$(-\infty;-3)$$.
