Упр.5 Глава 3 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Объясните, что такое интеграл.
- Запишите формулу Ньютона — Лейбница. Вычислите интеграл:
а) $$\int_{-3}^{3}\frac{dx}{(x+10)^2}$$;
б) $$\int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x}}$$;
в) $$\int_{?/3}^{?}\sin(x)\,dx$$;
г) $$\int_{0}^{3}x^2\,dx$$. - Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) $$y=x^2$$, $$y=3x$$;
б) $$y=x^2-4x+6$$, $$y=1$$, $$x=1$$, $$x=3$$;
в) $$y=4-x^2$$, $$y=3$$;
г) $$y=\cos(x)$$, $$y=1$$, $$x=-?/2$$, $$x=?/2$$.
1) Интеграл функции на отрезке $$[a;b]$$ — это предел интегральных сумм, если он существует:
$$\int\limits_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty} S_n.$$
2) Формула Ньютона — Лейбница:
$$\int\limits_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),$$
где $$F'(x)=f(x).$$
Вычислим интегралы:
$$\int\limits_{-3}^{3}\frac{dx}{(x+10)^2}=\left(-\frac{1}{x+10}\right)\Bigg|_{-3}^{3}=-\frac{1}{13}+\frac{1}{7}=\frac{6}{91}.$$
$$\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int\limits_{1}^{2}x^{-1/2}\,dx=2\sqrt{x}\Bigg|_{1}^{2}=2\sqrt{2}-2.$$
$$\int\limits_{\pi/3}^{\pi}\sin x\,dx=\left(-\cos x\right)\Bigg|_{\pi/3}^{\pi}=-\cos\pi+\cos\frac{\pi}{3}=1+\frac12=\frac32.$$
$$\int\limits_{0}^{3}x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\Bigg|_{0}^{3}=\frac{27}{3}=9.$$
3) Площадь фигуры:
$$y=x^2,\quad y=3x.$$
Точки пересечения: $$x^2=3x \Rightarrow x=0,\; x=3.$$
Тогда
$$S=\int\limits_{0}^{3}(3x-x^2)\,dx=\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{3}=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}.$$
$$y=x^2-4x+6,\quad y=1,\quad x=1,\quad x=3.$$
На отрезке $$[1;3]$$ верхняя граница — парабола, нижняя — прямая $$y=1$$:
$$S=\int\limits_{1}^{3}(x^2-4x+6-1)\,dx=\int\limits_{1}^{3}(x^2-4x+5)\,dx.$$
$$S=\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+5x\right)\Bigg|_{1}^{3}= \left(9-18+15\right)-\left(\frac13-2+5\right)=\frac{8}{3}.$$
$$y=4-x^2,\quad y=3.$$
Точки пересечения: $$4-x^2=3 \Rightarrow x=\pm1.$$
$$S=\int\limits_{-1}^{1}\bigl((4-x^2)-3\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx.$$
$$S=\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1}=\left(1-\frac13\right)-\left(-1+\frac13\right)=\frac{4}{3}.$$
$$y=\cos x,\quad y=1,\quad x=-\frac{\pi}{2},\quad x=\frac{\pi}{2}.$$
$$S=\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}(1-\cos x)\,dx=\left(x-\sin x\right)\Bigg|_{-\pi/2}^{\pi/2}=\pi-2.$$
Ответ
1) $$\int\limits_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty} S_n.$$
2) $$\int\limits_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$
а) $$\frac{6}{91}$$; б) $$2\sqrt{2}-2$$; в) $$\frac{3}{2}$$; г) $$9$$.
3) а) $$\frac{9}{2}$$; б) $$\frac{8}{3}$$; в) $$\frac{4}{3}$$; г) $$\pi-2$$.
