Упр.5 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Какую прямую называют касательной к графику функции $$f$$ в точке $$\left(x_0; f(x_0)\right)$$?
2. В чем состоит геометрический смысл производной?
3. Напишите уравнение касательной к графику функции $$f$$ в точке $$\left(x_0; f(x_0)\right)$$:
   а) $$f(x)=\cos(x)$$, $$x_0=\frac{2\pi}{3}$$;
   б) $$f(x)=\frac{1}{x}$$, $$x_0=2$$;
   в) $$f(x)=\sin(x)$$, $$x_0=?$$;
   г) $$f(x)=x^2$$, $$x_0=-\frac{1}{2}$$.

1) Касательной к графику функции $$f$$ в точке $$\left(x_0; f(x_0)\right)$$ называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая угловой коэффициент $$k=f'(x_0)$$.

2) Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Ход решения

3) Найдём уравнения касательных по формуле

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

1. $$f(x)=\cos x,\quad x_0=\frac{2\pi}{3}.$$

   $$f\!\left(x_0\right)=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$

   $$f’\!\left(x_0\right)=-\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$y=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{2\pi}{3}\right).$$

   После преобразования:

   $$y=-\frac{\sqrt3}{2}x+\frac{\pi\sqrt3}{3}-\frac12.$$

2. $$f(x)=\frac1x,\quad x_0=2.$$

   $$f\!\left(x_0\right)=\frac12,\qquad f’\!\left(x_0\right)=-\frac1{x^2}\Bigg|_{x=2}=-\frac14.$$

   Тогда

   $$y=\frac12-\frac14(x-2)=-\frac14x+1.$$

3. $$f(x)=\sin x,\quad x_0=\pi.$$

   $$f\!\left(x_0\right)=\sin\pi=0,\qquad f’\!\left(x_0\right)=\cos\pi=-1.$$

   Тогда

   $$y=0-1\cdot(x-\pi)=-x+\pi.$$

4. $$f(x)=x^2,\quad x_0=-\frac12.$$

   $$f\!\left(x_0\right)=\left(-\frac12\right)^2=\frac14,\qquad f’\!\left(x_0\right)=2x\Big|_{x=-1/2}=-1.$$

   Тогда

   $$y=\frac14-1\cdot\left(x+\frac12\right)=-x-\frac14.$$

Ответ

1) $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$; 2) $$f'(x_0)$$ — угловой коэффициент касательной; 3) а) $$y=-\frac{\sqrt3}{2}x+\frac{\pi\sqrt3}{3}-\frac12$$; б) $$y=-\frac14x+1$$; в) $$y=-x+\pi$$; г) $$y=-x-\frac14$$.