Упр.5 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1) Знаки тригонометрических функций зависят от четверти, в которой лежит точка $$P_\alpha$$:

$$\begin{aligned} &P_\alpha \in I: &&\sin \alpha > 0,\ \cos \alpha > 0,\ \tg \alpha > 0,\ \ctg \alpha > 0;\\ &P_\alpha \in II: &&\sin \alpha > 0,\ \cos \alpha < 0,\ \tg \alpha < 0,\ \ctg \alpha < 0;\\ &P_\alpha \in III: &&\sin \alpha < 0,\ \cos \alpha < 0,\ \tg \alpha > 0,\ \ctg \alpha > 0;\\ &P_\alpha \in IV: &&\sin \alpha < 0,\ \cos \alpha > 0,\ \tg \alpha < 0,\ \ctg \alpha < 0. \end{aligned}$$

2) Определим знак функций:

$$\begin{aligned} &\text{а) } \sin(-212^\circ)=\sin 148^\circ>0,\qquad \ctg\frac{7\pi}{9}<0;\\ &\text{б) } \cos 305^\circ=\cos 55^\circ>0,\qquad \tg\left(-\frac{6\pi}{5}\right)=\tg\frac{4\pi}{5}<0;\\ &\text{в) } \cos(-105^\circ)=\cos 255^\circ<0,\qquad \ctg\frac{11\pi}{9}=\ctg\frac{2\pi}{9}>0;\\ &\text{г) } \sin(-324^\circ)=\sin 36^\circ>0,\qquad \tg\frac{9\pi}{4}=\tg\frac{\pi}{4}>0. \end{aligned}$$

3) Найдём значения остальных тригонометрических функций:

$$\begin{aligned} &\text{а) } \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3},\ \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi;\\ &\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha} =-\sqrt{1-\frac13} =-\sqrt{\frac23} =-\frac{\sqrt6}{3};\\ &\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{\sqrt3/3}{-\sqrt6/3} =-\frac{\sqrt2}{2};\qquad \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=-\sqrt2. \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\text{б) } \ctg \alpha=-3,\ \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi;\\ &\sin \alpha=-\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2\alpha}} =-\sqrt{\frac{1}{1+9}} =-\frac{1}{\sqrt{10}} =-\frac{\sqrt{10}}{10};\\ &\cos \alpha=\ctg \alpha\cdot \sin \alpha =(-3)\cdot\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) =\frac{3\sqrt{10}}{10};\\ &\tg \alpha=\frac{1}{\ctg \alpha}=-\frac13. \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\text{в) } \tg \alpha=\frac12,\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2};\\ &\cos \alpha=-\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2\alpha}} =-\sqrt{\frac{1}{1+\frac14}} =-\sqrt{\frac45} =-\frac{2\sqrt5}{5};\\ &\sin \alpha=\tg \alpha\cdot \cos \alpha =\frac12\cdot\left(-\frac{2\sqrt5}{5}\right) =-\frac{\sqrt5}{5};\\ &\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=2. \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\text{г) } \cos \alpha=\frac17,\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2};\\ &\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{1}{49}} =\sqrt{\frac{48}{49}} =\frac{4\sqrt3}{7};\\ &\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{4\sqrt3/7}{1/7} =4\sqrt3;\\ &\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha} =\frac{1}{4\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{12}. \end{aligned}$$

Ответ

1) В I четверти все функции положительны; во II: $$\sin$$ и $$\ctg$$ — отрицательны, $$\cos$$ и $$\tg$$ — положительны; в III: $$\sin$$ и $$\cos$$ — отрицательны, $$\tg$$ и $$\ctg$$ — положительны; в IV: $$\sin$$ и $$\tg$$ — отрицательны, $$\cos$$ и $$\ctg$$ — положительны.

2) а) $$\sin(-212^\circ)>0$$, $$\ctg\frac{7\pi}{9}<0$$; б) $$\cos 305^\circ>0$$, $$\tg\left(-\frac{6\pi}{5}\right)<0$$; в) $$\cos(-105^\circ)<0$$, $$\ctg\frac{11\pi}{9}>0$$; г) $$\sin(-324^\circ)>0$$, $$\tg\frac{9\pi}{4}>0$$.

3) а) $$\cos \alpha=-\frac{\sqrt6}{3}$$, $$\tg \alpha=-\frac{\sqrt2}{2}$$, $$\ctg \alpha=-\sqrt2$$; б) $$\sin \alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}$$, $$\cos \alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}$$, $$\tg \alpha=-\frac13$$; в) $$\sin \alpha=-\frac{\sqrt5}{5}$$, $$\cos \alpha=-\frac{2\sqrt5}{5}$$, $$\ctg \alpha=2$$; г) $$\sin \alpha=\frac{4\sqrt3}{7}$$, $$\tg \alpha=4\sqrt3$$, $$\ctg \alpha=\frac{\sqrt3}{12}$$.