Упр.5 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) Какие остатки могут давать точные квадраты при делении на $$3$$, на $$4$$?
б) Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами равняться $$23$$?
в) Длины всех сторон прямоугольного треугольника — целые. Могут ли длины катетов быть нечётными числами?
г) В десятичной записи $$12$$-значного числа $$N$$ цифры $$2$$ и $$9$$ встречаются по $$2$$ раза, а остальные — по одному разу. Может ли $$N$$ быть точным квадратом?

Подробный ответ

а) При делении на $$3$$ квадрат целого числа может давать только остатки $$0$$ и $$1$$.

Действительно, если $$a=3k$$, то $$a^2=9k^2$$, то есть остаток $$0$$. Если $$a=3k+1$$, то

$$a^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1,$$

остаток $$1$$. Если $$a=3k+2$$, то

$$a^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4,$$

а это снова даёт остаток $$1$$.

При делении на $$4$$ квадрат целого числа может давать только остатки $$0$$ и $$1$$:

$$a=4k,\quad a^2=16k^2,$$

$$a=4k+1,\quad a^2=16k^2+8k+1,$$

$$a=4k+2,\quad a^2=16k^2+16k+4,$$

$$a=4k+3,\quad a^2=16k^2+24k+9.$$

Во всех случаях остаток равен $$0$$ или $$1$$.

б) Нет, не может. Если $$D=b^2-4ac=23$$, то

$$4ac=b^2-23.$$

Число $$b^2$$ и число $$23$$ имеют разные чётности: квадрат целого числа либо чётный, либо нечётный, но $$b^2-23$$ всегда чётно только при чётном $$b$$, а тогда $$b^2\equiv 0 \pmod 4$$, и $$b^2-23\equiv 1 \pmod 4$$, что не делится на $$4$$. Значит, равенство невозможно.

в) Нет, не могут. Если катеты целые и нечётные, то

$$a=2k+1,\quad b=2m+1.$$

Тогда

$$a^2=4k(k+1)+1,\quad b^2=4m(m+1)+1,$$

то есть

$$a^2\equiv 1 \pmod 4,\quad b^2\equiv 1 \pmod 4.$$

Следовательно,

$$c^2=a^2+b^2\equiv 1+1\equiv 2 \pmod 4,$$

а квадрат целого числа не может давать остаток $$2$$ при делении на $$4$$. Противоречие.

г) Нет, не может. Сумма цифр числа $$N$$ равна

$$0+1+2+\cdots+9+2+9=45+11=56.$$

Значит, $$N$$ делится на $$3$$, так как $$56$$ делится на $$3$$ с остатком $$2$$? Проверим точнее: сумма цифр равна $$56$$, а $$56\equiv 2 \pmod 3$$, значит число $$N$$ даёт остаток $$2$$ при делении на $$3$$.

Но квадрат целого числа при делении на $$3$$ может давать только остатки $$0$$ и $$1$$. Следовательно, $$N$$ не может быть точным квадратом.