Упр.5 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: а) $$-\frac{7}{25}$$ и $$\frac{24}{25}$$; б) $$0{,}4$$ и $$0{,}7$$; в) $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$ и $$-\frac{\sqrt{5}}{3}$$; г) $$-\frac{2}{\sqrt{5}}$$ и $$\frac{1}{\sqrt{5} }$$?
Проверим для каждого случая основное тригонометрическое тождество $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$
$$\sin\alpha=-\frac{7}{25},\quad \cos\alpha=\frac{24}{25}.$$
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\left(-\frac{7}{25}\right)^2+\left(\frac{24}{25}\right)^2=\frac{49}{625}+\frac{576}{625}=\frac{625}{625}=1.$$
Такое число $$\alpha$$ существует.
$$\sin\alpha=0{,}4,\quad \cos\alpha=0{,}7.$$
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=(0{,}4)^2+(0{,}7)^2=0{,}16+0{,}49=0{,}65\neq 1.$$
Такое число $$\alpha$$ не существует.
$$\sin\alpha=\frac{\sqrt6}{3},\quad \cos\alpha=-\frac{\sqrt5}{3}.$$
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt5}{3}\right)^2=\frac{6}{9}+\frac{5}{9}=\frac{11}{9}\neq 1.$$
Такое число $$\alpha$$ не существует.
$$\sin\alpha=-\frac{2}{\sqrt5},\quad \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt5}.$$
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\left(-\frac{2}{\sqrt5}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt5}\right)^2=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1.$$
Такое число $$\alpha$$ существует.
Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да.
