Упр.498 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Пусть $$a=\log_3 2.$$ Тогда

$$\log_{\frac13}3=\frac{1}{\log_3\frac13}=\frac{1}{-1}=-1,$$

но удобнее воспользоваться свойством

$$\log_{\frac13}3=\frac{1}{\log_3\frac13}=-1,\qquad \log_3\frac12=-\log_3 2=-a.$$

Тогда

$$\log_{\frac13}3+\log_3\frac12=-1-a.$$

Так как $$a=\log_3 2>0,$$ то

$$-1-a<-2,$$

следовательно, неравенство верно.

б) Используем основное логарифмическое тождество:

$$4^{\log_5 7}=\left(5^{\log_5 4}\right)^{\log_5 7}=5^{\log_5 4\cdot \log_5 7},$$

$$7^{\log_5 4}=\left(5^{\log_5 7}\right)^{\log_5 4}=5^{\log_5 7\cdot \log_5 4}.$$

Показатели степеней одинаковы, значит,

$$4^{\log_5 7}=7^{\log_5 4}.$$

в) Пусть $$a=\log_3 7.$$ Тогда

$$\log_7 3=\frac{1}{\log_3 7}=\frac{1}{a}.$$

Получаем

$$a+\frac{1}{a}>2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2-2a+1}{a}=\frac{(a-1)^2}{a}.$$

Так как $$a=\log_3 7>0,$$ а $$a\ne 1,$$ то $$\frac{(a-1)^2}{a}>0.$$ Следовательно,

$$\log_3 7+\log_7 3>2.$$

г) Пусть $$a=\log_2 3.$$ Тогда

$$\log_2 5=\frac{\log_2 5}{1},\qquad 3=2^{\log_2 3},\qquad 5=2^{\log_2 5}.$$

Преобразуем обе части:

$$3^{\log_2 5}=\left(2^{\log_2 3}\right)^{\log_2 5}=2^{\log_2 3\cdot \log_2 5},$$

$$5^{\log_2 3}=\left(2^{\log_2 5}\right)^{\log_2 3}=2^{\log_2 5\cdot \log_2 3}.$$

Показатели равны, значит,

$$3^{\log_2 5}=5^{\log_2 3}.$$

Ответ

а) верно; б) верно; в) верно; г) верно.