Упр.49 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\left(\sqrt[4]{k}-\frac{\sqrt[4]{k^3}+1}{\sqrt[4]{k}+1}\right)^{-1}-\frac{\sqrt[4]{k^3}+\sqrt{k}}{\sqrt[4]{k}-1}$$

Так как $$\sqrt[4]{k^3}=\sqrt[4]{k}\cdot\sqrt{k},$$ то

$$\sqrt[4]{k}-\frac{\sqrt[4]{k^3}+1}{\sqrt[4]{k}+1} =\frac{\sqrt[4]{k}(\sqrt[4]{k}+1)-\sqrt[4]{k^3}-1}{\sqrt[4]{k}+1} =\frac{\sqrt[4]{k}-1}{\sqrt[4]{k}+1}.$$

Тогда

$$\left(\frac{\sqrt[4]{k}-1}{\sqrt[4]{k}+1}\right)^{-1} =\frac{\sqrt[4]{k}+1}{\sqrt[4]{k}-1}.$$

Кроме того,

$$\frac{\sqrt[4]{k^3}+\sqrt{k}}{\sqrt[4]{k}-1} =\frac{\sqrt[4]{k}\sqrt{k}+\sqrt{k}}{\sqrt[4]{k}-1} =\frac{\sqrt{k}(\sqrt[4]{k}+1)}{\sqrt[4]{k}-1}.$$

Следовательно,

$$\frac{\sqrt[4]{k}+1}{\sqrt[4]{k}-1}-\frac{\sqrt{k}(\sqrt[4]{k}+1)}{\sqrt[4]{k}-1} =\frac{(\sqrt[4]{k}+1)(1-\sqrt{k})}{\sqrt[4]{k}-1}.$$

Так как $$\sqrt{k}=(\sqrt[4]{k})^2,$$ то

$$\frac{(\sqrt[4]{k}+1)(1-\sqrt{k})}{\sqrt[4]{k}-1} =-\frac{(\sqrt[4]{k}+1)(\sqrt{k}-1)}{\sqrt[4]{k}-1} =-\sqrt[4]{k}-1.$$

б) $$\left(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(2\sqrt{b})^2}{a-b}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right):\frac{32b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$

Преобразуем первую дробь:

$$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(2\sqrt{b})^2}{a-b} =\frac{a+2\sqrt{ab}+b-4b}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} =\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+3\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} =\frac{4\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$$

Теперь делим на $$\frac{32b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$:

$$\frac{4\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\frac{32b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} =\frac{4\sqrt{b}}{32b\sqrt{b}}=\frac{1}{8b}.$$

в) $$\left(\frac{\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{y^3}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\left(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\right)\right)\left(\sqrt[4]{\frac{x}{y}}+1\right)$$

Используем разложение:

$$x^{3/4}-y^{3/4}=(x^{1/4}-y^{1/4})(x^{1/2}+x^{1/4}y^{1/4}+y^{1/2}).$$

Тогда

$$\frac{\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{y^3}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\frac{(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})(\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y})}{(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})} =\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}.$$

Тогда выражение в первых скобках равно

$$\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}-\left(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\right) =\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}-\sqrt{x}-2\sqrt[4]{xy}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}$$

$$=-\frac{\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}.$$

Кроме того,

$$\sqrt[4]{\frac{x}{y}}+1=\frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt[4]{y}}.$$

Следовательно,

$$-\frac{\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}\cdot\frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt[4]{y}} =-\frac{\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{y}}=-\sqrt[4]{x}.$$

г) $$\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{ab^2}-\sqrt{a^2b}-\sqrt{b^3}}{\sqrt[4]{b^5}+\sqrt[4]{a^4b}-\sqrt[4]{ab^4}-\sqrt[4]{a^5}}$$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\sqrt{a^3}+\sqrt{ab^2}-\sqrt{a^2b}-\sqrt{b^3} =\sqrt{a}(a+b)-\sqrt{b}(a+b)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+b),$$

$$\sqrt[4]{b^5}+\sqrt[4]{a^4b}-\sqrt[4]{ab^4}-\sqrt[4]{a^5} =\sqrt[4]{b}(b+a)-\sqrt[4]{a}(a+b)=(\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a})(a+b).$$

Тогда

$$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+b)}{(\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a})(a+b)} =\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a}}.$$

Так как $$\sqrt{a}=(\sqrt[4]{a})^2,\ \sqrt{b}=(\sqrt[4]{b})^2,$$ то

$$\frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a}} =-(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}).$$

Ответ

а) $$-\sqrt[4]{k}-1$$; б) $$\frac{1}{8b}$$; в) $$-\sqrt[4]{x}$$; г) $$-\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}$$.