Упр.49 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Члены арифметической $$\left(a_n\right)$$ и геометрической $$\left(b_n\right)$$ прогрессий удовлетворяют условиям $$a_{40}=b_{40}>0$$, $$a_{60}=b_{60}>0$$. Что больше: $$a_{50}$$ или $$b_{50}$$?

Так как $$a_n$$ — арифметическая прогрессия, то

$$a_{50}=\frac{a_{40}+a_{60}}{2}.$$

Так как $$b_n$$ — геометрическая прогрессия, то

$$b_{50}=\sqrt{b_{40}b_{60}}.$$

По условию $$a_{40}=b_{40}>0$$ и $$a_{60}=b_{60}>0$$, значит

$$a_{50}=\frac{a_{40}+a_{60}}{2}, \qquad b_{50}=\sqrt{a_{40}a_{60}}.$$

Для положительных чисел верно неравенство среднего арифметического и среднего геометрического:

$$\frac{a_{40}+a_{60}}{2}\ge \sqrt{a_{40}a_{60}}.$$

Следовательно,

$$a_{50}\ge b_{50}.$$

Ответ: $$a_{50}\ge b_{50}$$.