Упр.48 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите произведение первых $$n$$ членов геометрической прогрессии, если известна их сумма $$A$$ и сумма обратных к ним величин $$B$$ ($$B\ne0$$).

Пусть $$b_1,\, b_2,\, \ldots,\, b_n$$ — члены геометрической прогрессии со знаменателем $$q$$.

Тогда

$$A=b_1+b_2+\cdots+b_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1},$$

а сумма обратных величин равна

$$B=\frac1{b_1}+\frac1{b_2}+\cdots+\frac1{b_n}=\frac{1}{b_1}\cdot \frac{1-\frac1{q^n}}{1-\frac1q}=\frac{q(q^n-1)}{b_1q^n(q-1)}.$$

Найдём отношение:

$$\frac{A}{B}=b_1^2q^{\,n-1}.$$

Произведение первых $$n$$ членов прогрессии:

$$D=b_1\cdot b_1q\cdot \ldots \cdot b_1q^{n-1}=b_1^nq^{1+2+\cdots+(n-1)}.$$

Так как

$$1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2},$$

то

$$D=b_1^nq^{\frac{n(n-1)}{2}}=\left(b_1^2q^{\,n-1}\right)^{\frac n2}.$$

Подставляя найденное отношение, получаем

$$D=\left(\frac{A}{B}\right)^{\frac n2}.$$

Ответ

$$\left(\frac{A}{B}\right)^{\frac n2}$$