Упр.478 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Представим основания и числа в виде степеней одного и того же числа и воспользуемся определением логарифма: если $$a^x=b,$$ то $$\log_a b=x.$$

1. $$27^{\frac{2}{3}}=9.$$

   Так как $$27=3^3$$ и $$9=3^2,$$ то

   $$27^{\frac{2}{3}}=(3^3)^{\frac{2}{3}}=3^2=9,$$

   значит, $$\log_{27}9=\frac{2}{3}.$$

2. $$32^{\frac{3}{5}}=8.$$

   Так как $$32=2^5$$ и $$8=2^3,$$ то

   $$32^{\frac{3}{5}}=(2^5)^{\frac{3}{5}}=2^3=8,$$

   значит, $$\log_{32}8=\frac{3}{5}.$$

3. $$81^{\frac{3}{4}}=27.$$

   Так как $$81=3^4$$ и $$27=3^3,$$ то

   $$81^{\frac{3}{4}}=(3^4)^{\frac{3}{4}}=3^3=27,$$

   значит, $$\log_{81}27=\frac{3}{4}.$$

4. $$125^{\frac{2}{3}}=25.$$

   Так как $$125=5^3$$ и $$25=5^2,$$ то

   $$125^{\frac{2}{3}}=(5^3)^{\frac{2}{3}}=5^2=25,$$

   значит, $$\log_{125}25=\frac{2}{3}.$$

Ответ

а) $$\frac{2}{3}$$; б) $$\frac{3}{5}$$; в) $$\frac{3}{4}$$; г) $$\frac{2}{3}$$.