Упр.474 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\pi^x-\pi^{2x}\ge 0$$
$$\pi^x-(\pi^x)^2\ge 0$$
$$\pi^x(1-\pi^x)\ge 0$$
Так как $$\pi^x>0,$$ то
$$1-\pi^x\ge 0,$$
откуда
$$\pi^x\le 1=\pi^0.$$
Поскольку $$\pi>1,$$ получаем
$$x\le 0.$$
Итак, $$x\in(-\infty;0].$$
б) $$\left(\frac13\right)^{2x-1}-10\cdot 3^{-x}+3<0$$
$$3^{-2x}\cdot 3-10\cdot 3^{-x}+3<0$$
Введём новую переменную $$t=3^{-x},\quad t>0.$$ Тогда
$$3t^2-10t+3<0.$$
Найдём корни:
$$D=100-36=64,$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6},\quad t_1=\frac13,\; t_2=3.$$
Так как коэффициент при $$t^2$$ положительный, то
$$\frac13<t<3.$$
Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем
$$3^{-1}<3^{-x}<3^1.$$
Так как основание $$3>1,$$ имеем
$$-1<-x<1,$$
откуда
$$-1<x<1.$$
Итак, $$x\in(-1;1).$$
в) $$4^x-2^{x+1}-8>0$$
$$\left(2^x\right)^2-2\cdot 2^x-8>0$$
Введём новую переменную $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда
$$t^2-2t-8>0.$$
Найдём корни:
$$D=4+32=36,$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2},\quad t_1=4,\; t_2=-2.$$
С учётом условия $$t>0$$ получаем
$$t>4.$$
Тогда
$$2^x>2^2,$$
а значит, так как $$2>1,$$
$$x>2.$$
Итак, $$x\in(2;+\infty).$$
г) $$\left(\frac1{36}\right)^x-5\cdot 6^{-x}-6\le 0$$
$$\left(6^{-2}\right)^x-5\cdot 6^{-x}-6\le 0$$
$$\left(6^{-x}\right)^2-5\cdot 6^{-x}-6\le 0$$
Введём новую переменную $$t=6^{-x},\quad t>0.$$ Тогда
$$t^2-5t-6\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=25+24=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2},\quad t_1=6,\; t_2=-1.$$
С учётом условия $$t>0$$ получаем
$$0<t\le 6.$$
Значит,
$$6^{-x}\le 6^1.$$
Так как $$6>1,$$ имеем
$$-x\le 1,$$
откуда
$$x\ge -1.$$
Итак, $$x\in[-1;+\infty).$$
