Упр.473 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\left(\frac{2}{3}\right)^x+\left(\frac{2}{3}\right)^{x-1}>2{,}5$$

Вынесем общий множитель $$\left(\frac{2}{3}\right)^x$$:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x\left(1+\frac{3}{2}\right)>2{,}5$$

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x\cdot \frac{5}{2}>\frac{5}{2}$$

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x>1$$

Так как $$0<\frac{2}{3}<1,$$ то

$$x<0.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;0).$$

б) $$2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}<448$$

Вынесем общий множитель $$2^{2x-3}$$:

$$2^{2x-3}\left(2^2+2^1+1\right)<448$$

$$2^{2x-3}\cdot 7<448$$

$$2^{2x-3}<64=2^6$$

Так как основание $$2>1,$$ получаем:

$$2x-3<6,$$

$$2x<9,$$

$$x<4{,}5.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;4{,}5).$$

в) $$\left(\frac{4}{3}\right)^{x+1}-\left(\frac{4}{3}\right)^x>\frac{3}{16}$$

Вынесем общий множитель $$\left(\frac{4}{3}\right)^x$$:

$$\left(\frac{4}{3}\right)^x\left(\frac{4}{3}-1\right)>\frac{3}{16}$$

$$\left(\frac{4}{3}\right)^x\cdot \frac{1}{3}>\frac{3}{16}$$

$$\left(\frac{4}{3}\right)^x>\frac{9}{16}$$

$$\frac{9}{16}=\left(\frac{4}{3}\right)^{-2}$$

Так как $$\frac{4}{3}>1,$$ то

$$x>-2.$$

Ответ: $$x\in(-2;\infty).$$

г) $$3^{x+2}+3^{x-1}<28$$

Вынесем общий множитель $$3^x$$:

$$3^x\left(3^2+3^{-1}\right)<28$$

$$3^x\left(9+\frac{1}{3}\right)<28$$

$$3^x\cdot \frac{28}{3}<28$$

$$3^x<3=3^1$$

Так как $$3>1,$$ получаем:

$$x<1.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;1).$$