Упр.471 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$5^{x+y}=125=5^3,\qquad 4^{(x-y)^2-1}=1=4^0.$$

Тогда

$$\begin{cases} x+y=3,\\ (x-y)^2-1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1 \end{cases} \ \text{или}\ \begin{cases} x+y=3,\\ x-y=-1 \end{cases}$$

1) $$\begin{cases}x+y=3,\\ x-y=1.\end{cases}$$ Складываем уравнения: $$2x=4,$$ значит $$x=2,$$ тогда $$y=1.$$

2) $$\begin{cases}x+y=3,\\ x-y=-1.\end{cases}$$ Складываем уравнения: $$2x=2,$$ значит $$x=1,$$ тогда $$y=2.$$

Ответ: $$(2;1),\ (1;2).$$

Ход решения

б) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=5-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$4^x+4^y=80 \Rightarrow 4^x+4^{5-x}=80.$$

Обозначим $$t=4^x,\ t>0.$$ Тогда

$$t+\frac{4^5}{t}=80 \Rightarrow t+\frac{1024}{t}=80.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-80t+1024=0.$$

$$D=80^2-4\cdot1024=2304,\qquad \sqrt D=48.$$

$$t_{1,2}=\frac{80\pm48}{2} \Rightarrow t_1=64,\ t_2=16.$$

Тогда

$$4^x=64=4^3 \Rightarrow x=3,\qquad y=5-3=2,$$

или

$$4^x=16=4^2 \Rightarrow x=2,\qquad y=5-2=3.$$

Ответ: $$(2;3),\ (3;2).$$

Ход решения

в) $$3^x+3^y=12,\qquad 6^{x+y}=216=6^3.$$

Из второго уравнения получаем:

$$x+y=3,\qquad y=3-x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$3^x+3^{3-x}=12.$$

Обозначим $$t=3^x,\ t>0.$$ Тогда

$$t+\frac{27}{t}=12.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-12t+27=0.$$

$$D=12^2-4\cdot27=36,\qquad \sqrt D=6.$$

$$t_{1,2}=\frac{12\pm6}{2} \Rightarrow t_1=9,\ t_2=3.$$

Тогда

$$3^x=9=3^2 \Rightarrow x=2,\qquad y=1,$$

или

$$3^x=3=3^1 \Rightarrow x=1,\qquad y=2.$$

Ответ: $$(1;2),\ (2;1).$$

Ход решения

г) $$4^{x+y}=128,\qquad 5^{3x-2y-3}=1.$$

Запишем основания в виде степеней двойки:

$$4^{x+y}=2^7,\qquad 5^{3x-2y-3}=5^0.$$

Тогда

$$\begin{cases} 2(x+y)=7,\\ 3x-2y-3=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x+2y=7,\\ 3x-2y=3 \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$5x=10 \Rightarrow x=2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2\cdot2+2y=7 \Rightarrow 2y=3 \Rightarrow y=\frac32.$$

Ответ: $$(2;\,1{,}5).$$