Упр.470 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
$$3^x+3^{3-x}=12.$$
Перепишем второе слагаемое:
$$3^x+\frac{27}{3^x}=12.$$
Введём новую переменную $$t=3^x>0$$. Тогда
$$t+\frac{27}{t}=12,$$
$$t^2-12t+27=0.$$
$$t_1=3,\quad t_2=9.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$3^x=3 \Rightarrow x=1,$$
$$3^x=9 \Rightarrow x=2.$$
$$4^{\sqrt{x-2}}+16=10\cdot 2^{\sqrt{x-2}}.$$
Так как $$4^{\sqrt{x-2}}=\left(2^{\sqrt{x-2}}\right)^2,$$ введём переменную
$$t=2^{\sqrt{x-2}} \ge 1.$$
Тогда получаем:
$$t^2+16=10t,$$
$$t^2-10t+16=0.$$
$$t_1=2,\quad t_2=8.$$
Из условия $$t\ge 1$$ оба корня подходят.
1) $$2^{\sqrt{x-2}}=2 \Rightarrow \sqrt{x-2}=1 \Rightarrow x=3.$$
2) $$2^{\sqrt{x-2}}=8=2^3 \Rightarrow \sqrt{x-2}=3 \Rightarrow x=11.$$
$$\left(\frac15\right)^{1-x}-\left(\frac15\right)^x=4{,}96.$$
Преобразуем первое слагаемое:
$$\left(\frac15\right)^{1-x}=5^{x-1}=\frac{1}{5}\cdot 5^x.$$
Удобнее ввести переменную
$$t=\left(\frac15\right)^x>0.$$
Тогда
$$\frac{1}{5t}-t=4{,}96.$$
Умножим на $$5t$$:
$$1-5t^2=24{,}8t,$$
$$5t^2+24{,}8t-1=0.$$
Удобнее сразу перейти к десятичным дробям в исходной записи:
$$0{,}2\left(\frac15\right)^{-x}-\left(\frac15\right)^x=4{,}96.$$
Пусть $$t=\left(\frac15\right)^x>0$$. Тогда
$$\frac{0{,}2}{t}-t=4{,}96,$$
$$0{,}2- t^2=4{,}96t,$$
$$t^2+4{,}96t-0{,}2=0.$$
$$t_1=0{,}04,\quad t_2=-5.$$
Так как $$t>0,$$ подходит только $$t=0{,}04.$$
$$\left(\frac15\right)^x=0{,}04=\frac1{25}=\left(\frac15\right)^2,$$
значит, $$x=2.$$
$$4^x-0{,}25^{x-2}=15.$$
Так как $$0{,}25=\frac14,$$ имеем
$$4^x-\left(\frac14\right)^{x-2}=15.$$
Преобразуем второе слагаемое:
$$\left(\frac14\right)^{x-2}=4^{2-x}=\frac{16}{4^x}.$$
Введём переменную $$t=4^x>0.$$ Тогда
$$t-\frac{16}{t}=15,$$
$$t^2-15t-16=0.$$
$$t_1=16,\quad t_2=-1.$$
Так как $$t>0,$$ подходит только $$t=16.$$
$$4^x=16=4^2,$$
следовательно, $$x=2.$$
Ответ
а) $$x=1,\ 2$$; б) $$x=3,\ 11$$; в) $$x=2$$; г) $$x=2$$.
