Упр.47 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что суммы первых $$m$$ и $$n$$ членов арифметической прогрессии равны, т. е. $$S_m=S_n$$. Найдите $$S_{m+n}$$.

Для арифметической прогрессии

$$S_m=\frac{m}{2}\bigl(2a_1+d(m-1)\bigr), \qquad S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr).$$

По условию $$S_m=S_n$$, значит

$$\frac{m}{2}\bigl(2a_1+d(m-1)\bigr)=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr).$$

Умножим на $$2$$ и преобразуем:

$$m\bigl(2a_1+d(m-1)\bigr)=n\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr),$$

$$2a_1(m-n)+d\bigl(m^2-n^2-(m-n)\bigr)=0,$$

$$2a_1(m-n)+d(m-n)(m+n-1)=0,$$

$$(m-n)\bigl(2a_1+d(m+n-1)\bigr)=0.$$

Так как $$m\ne n$$, то

$$2a_1+d(m+n-1)=0.$$

Тогда сумма первых $$m+n$$ членов равна

$$S_{m+n}=\frac{m+n}{2}\bigl(2a_1+d(m+n-1)\bigr)=0.$$

Ответ

$$0$$