Упр.464 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$9^x-8\cdot 3^x-9=0.$$

Положим $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-8t-9=0.$$

$$D=64+36=100,$$

$$t_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}.$$

Получаем $$t_1=-1$$ и $$t_2=9.$$ Значение $$t=-1$$ не подходит, так как $$t>0.$$

Тогда $$3^x=9=3^2,$$ откуда $$x=2.$$

б) $$100^x-11\cdot 10^x+10=0.$$

Положим $$t=10^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-11t+10=0.$$

$$D=121-40=81,$$

$$t_{1,2}=\frac{11\pm 9}{2}.$$

Получаем $$t_1=1$$ и $$t_2=10.$$

Значит,

$$10^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$10^x=10 \Rightarrow x=1.$$

в) $$36^x-4\cdot 6^x-12=0.$$

Положим $$t=6^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-4t-12=0.$$

$$D=16+48=64,$$

$$t_{1,2}=\frac{4\pm 8}{2}.$$

Получаем $$t_1=-2$$ и $$t_2=6.$$ Значение $$t=-2$$ не подходит.

Тогда $$6^x=6=6^1,$$ откуда $$x=1.$$

г) $$49^x-8\cdot 7^x+7=0.$$

Положим $$t=7^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-8t+7=0.$$

$$D=64-28=36,$$

$$t_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}.$$

Получаем $$t_1=1$$ и $$t_2=7.$$

Значит,

$$7^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$7^x=7 \Rightarrow x=1.$$

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=0,\,1$$; в) $$x=1$$; г) $$x=0,\,1$$.