Упр.461 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{9}{8}\right)^x = \frac{27}{64}.$$

Объединим степени с одинаковым показателем:

$$\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{8}\right)^x=\left(\frac{3}{4}\right)^3.$$

Получаем:

$$\left(\frac{3}{4}\right)^x=\left(\frac{3}{4}\right)^3,$$

откуда $$x=3.$$

б) $$\sqrt{8^{x-3}}=\sqrt[3]{4^{2-x}}.$$

Запишем обе части в виде степеней числа $$2$$:

$$8^{\frac{x-3}{2}}=4^{\frac{2-x}{3}},$$

$$2^{\frac{3(x-3)}{2}}=2^{\frac{2(2-x)}{3}}.$$

Тогда показатели равны:

$$\frac{3(x-3)}{2}=\frac{2(2-x)}{3}.$$

Умножим на $$6$$:

$$9(x-3)=4(2-x),$$

$$9x-27=8-4x,$$

$$13x=35,$$

$$x=\frac{35}{13}.$$

в) $$\sqrt{2^x}\cdot \sqrt{3^x}=36.$$

Имеем:

$$2^{\frac{x}{2}}\cdot 3^{\frac{x}{2}}=36,$$

$$\left(2\cdot 3\right)^{\frac{x}{2}}=36,$$

$$6^{\frac{x}{2}}=6^2.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{2}=2,$$

$$x=4.$$

г) $$\left(\frac{3}{7}\right)^{3x+1}=\left(\frac{7}{3}\right)^{5x-3}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\left(\frac{7}{3}\right)^{5x-3}=\left(\frac{3}{7}\right)^{3-5x}.$$

Тогда

$$\left(\frac{3}{7}\right)^{3x+1}=\left(\frac{3}{7}\right)^{3-5x}.$$

При равных основаниях равны показатели:

$$3x+1=3-5x,$$

$$8x=2,$$

$$x=\frac14.$$

Ответ: а) $$3$$; б) $$\frac{35}{13}$$; в) $$4$$; г) $$\frac14$$.