Упр.46 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Числа $$x$$, $$y$$, $$z$$ (в указанном порядке) образуют геометрическую прогрессию, а числа $$x+y$$, $$y+z$$, $$z+x$$ — арифметическую. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Так как числа $$x+y,$$ $$y+z,$$ $$z+x$$ образуют арифметическую прогрессию, то средний член равен полусумме крайних:

$$2(y+z)=(x+y)+(z+x).$$

Отсюда

$$2y+2z=2x+y+z,$$

$$y+z=2x.$$

Пусть числа $$x,$$ $$y,$$ $$z$$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $$q$$. Тогда

$$y=xq,\qquad z=xq^2.$$

Подставим это в равенство $$y+z=2x$$:

$$xq+xq^2=2x.$$

Так как $$x\neq 0,$$ получаем

$$q+q^2=2,$$

$$q^2+q-2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+8=9,$$

$$q=\frac{-1\pm 3}{2}.$$

Следовательно,

$$q_1=1,\qquad q_2=-2.$$

Ответ

$$-2;\ 1.$$