Упр.45 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

При каком значении $$a$$ найдутся такие $$x$$, что числа $$5^{1+x} + 5^{1-x}$$, $$\frac{a}{2}$$, $$25^x + 25^{-x}$$ (в указанном порядке) составляют арифметическую прогрессию?

Пусть

$$a_1=5^{1+x}+5^{1-x}, \quad a_2=\frac a2, \quad a_3=25^x+25^{-x}.$$

Так как эти числа образуют арифметическую прогрессию, то

$$2a_2=a_1+a_3.$$

Подставим выражения:

$$a=5^{1+x}+5^{1-x}+25^x+25^{-x}.$$

Преобразуем:

$$a=5\cdot 5^x+5\cdot 5^{-x}+5^{2x}+5^{-2x}.$$

Обозначим $$t=5^x+5^{-x}.$$ Тогда

$$5^{2x}+5^{-2x}=(5^x+5^{-x})^2-2=t^2-2,$$

и потому

$$a=5t+t^2-2=t^2+5t-2.$$

Так как $$t=5^x+5^{-x}\ge 2,$$ то функция $$a=t^2+5t-2$$ при $$t\ge 2$$ возрастает, значит наименьшее значение достигается при $$t=2$$:

$$a_{\min}=2^2+5\cdot 2-2=12.$$

Следовательно, возможны все значения

$$a\ge 12.$$

Ответ

$$[12;+\infty).$$