Упр.447 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Сравним числа, используя свойства показательной функции.

1. $$\left(\frac{4}{7}\right)^{-\frac{\sqrt5}{2}} \text{ и } 1$$

   Представим $$1$$ в виде $$\left(\frac{4}{7}\right)^0$$. Так как $$0<\frac{4}{7}<1$$, функция $$\left(\frac{4}{7}\right)^x$$ убывает. Поскольку $$-\frac{\sqrt5}{2}<0$$, то

   $$\left(\frac{4}{7}\right)^{-\frac{\sqrt5}{2}} > \left(\frac{4}{7}\right)^0 = 1.$$

2. $$3^{-\sqrt{12}} \text{ и } \left(\frac13\right)^{2,8}$$

   Преобразуем первое число:

   $$3^{-\sqrt{12}}=\left(\frac13\right)^{\sqrt{12}}.$$

   Так как $$0<\frac13<1$$, функция $$\left(\frac13\right)^x$$ убывает. Поскольку $$\sqrt{12}>2,8$$, то

   $$\left(\frac13\right)^{\sqrt{12}} < \left(\frac13\right)^{2,8}.$$

   Значит, $$3^{-\sqrt{12}} < \left(\frac13\right)^{2,8}.$$

3. $$2,5^{-\sqrt2} \text{ и } 1$$

   Представим $$1$$ в виде $$\left(0,4\right)^0$$, а число $$2,5^{-\sqrt2}$$ запишем так:

   $$2,5^{-\sqrt2}=\left(0,4\right)^{\sqrt2}.$$

   Так как $$0<0,4<1$$, функция $$\left(0,4\right)^x$$ убывает. Поскольку $$\sqrt2>0$$, то

   $$\left(0,4\right)^{\sqrt2} < \left(0,4\right)^0 = 1.$$

   Следовательно, $$2,5^{-\sqrt2} < 1.$$

4. $$0,3^{\frac{\sqrt5}{6}} \text{ и } 0,3^{\frac13}$$

   Так как $$0<0,3<1$$, функция $$0,3^x$$ убывает. Сравним показатели:

   $$\frac{\sqrt5}{6} > \frac13,$$

   поскольку $$\sqrt5>2$$. Для убывающей функции большему показателю соответствует меньшее значение, значит

   $$0,3^{\frac{\sqrt5}{6}} < 0,3^{\frac13}.$$

Ответ: а) $$\left(\frac47\right)^{-\frac{\sqrt5}{2}}>1$$; б) $$3^{-\sqrt{12}}<\left(\frac13\right)^{2,8}$$; в) $$2,5^{-\sqrt2}<1$$; г) $$0,3^{\frac{\sqrt5}{6}}<0,3^{\frac13}$$.