Упр.44 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростите выражения:
   а) $$\left(m+n-\frac{4mn}{m+n}\right):\left(\frac{m}{m+n}-\frac{n}{n-m}-\frac{2mn}{m^2-n^2}\right);$$
   б) $$\frac{a^3+b^3}{a+b}:(a^2-b^2)+\frac{2b}{a+b}-\frac{ab}{a^2-b^2};$$
   в) $$\left(\frac{x}{x^2-4}-\frac{8}{x^2+2x}\right)\cdot\frac{x^2-2x}{4-x}+\frac{x+8}{x+2};$$
   г) $$\left(\frac{1}{c^2+3c+2}+\frac{2c}{c^2+4c+3}+\frac{1}{c^2+5c+6}\right)^2\cdot\frac{(c-3)^2+12c}{2}.$$

а) $$\left(m+n-\frac{4mn}{m+n}\right):\left(\frac{m}{m+n}-\frac{n}{n-m}-\frac{2mn}{m^2-n^2}\right)$$

Приведём выражения к общему знаменателю:

$$m+n-\frac{4mn}{m+n}=\frac{(m+n)^2-4mn}{m+n}=\frac{m^2-2mn+n^2}{m+n}=\frac{(m-n)^2}{m+n}$$

$$\frac{m}{m+n}-\frac{n}{n-m}-\frac{2mn}{m^2-n^2}=\frac{m}{m+n}+\frac{n}{m-n}-\frac{2mn}{(m-n)(m+n)}$$

$$=\frac{m(m-n)+n(m+n)-2mn}{(m-n)(m+n)}=\frac{m^2-2mn+n^2}{(m-n)(m+n)}=\frac{m-n}{m+n}$$

Тогда

$$\frac{(m-n)^2}{m+n}:\frac{m-n}{m+n}=m-n$$

б) $$\frac{a^3+b^3}{a+b}:(a^2-b^2)+\frac{2b}{a+b}-\frac{ab}{a^2-b^2}$$

Используем формулы разложения:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2), \qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Тогда

$$\frac{a^3+b^3}{a+b}:(a^2-b^2)=\frac{a^2-ab+b^2}{(a-b)(a+b)}$$

Приведём всё к общему знаменателю:

$$\frac{a^2-ab+b^2}{(a-b)(a+b)}+\frac{2b}{a+b}-\frac{ab}{(a-b)(a+b)}$$

$$=\frac{a^2-ab+b^2+2b(a-b)-ab}{(a-b)(a+b)}$$

$$=\frac{a^2-b^2}{a^2-b^2}=1$$

в) $$\left(\frac{x}{x^2-4}-\frac{8}{x^2+2x}\right)\cdot\frac{x^2-2x}{4-x}+\frac{x+8}{x+2}$$

Разложим знаменатели на множители:

$$x^2-4=(x-2)(x+2), \qquad x^2+2x=x(x+2), \qquad 4-x=-(x-4)$$

Тогда

$$\frac{x}{(x-2)(x+2)}-\frac{8}{x(x+2)}=\frac{x^2-8x+16}{x(x-2)(x+2)}=\frac{(x-4)^2}{x(x-2)(x+2)}$$

и

$$\frac{x^2-2x}{4-x}=\frac{x(x-2)}{4-x}$$

Следовательно,

$$\left(\frac{(x-4)^2}{x(x-2)(x+2)}\right)\cdot\frac{x(x-2)}{4-x}+\frac{x+8}{x+2}$$

$$=\frac{x-4}{x+2}+\frac{x+8}{x+2}=\frac{2x+4}{x+2}=2$$

г) $$\left(\frac{1}{c^2+3c+2}+\frac{2c}{c^2+4c+3}+\frac{1}{c^2+5c+6}\right)^2\cdot\frac{(c-3)^2+12c}{2}$$

Разложим знаменатели:

$$c^2+3c+2=(c+1)(c+2), \quad c^2+4c+3=(c+1)(c+3), \quad c^2+5c+6=(c+2)(c+3)$$

Тогда

$$\frac{1}{(c+1)(c+2)}+\frac{2c}{(c+1)(c+3)}+\frac{1}{(c+2)(c+3)}$$

$$=\frac{(c+3)+2c(c+2)+(c+1)}{(c+1)(c+2)(c+3)}$$

$$=\frac{2(c+1)(c+2)}{(c+1)(c+2)(c+3)}=\frac{2}{c+3}$$

Тогда всё выражение равно

$$\left(\frac{2}{c+3}\right)^2\cdot\frac{(c-3)^2+12c}{2}$$

Так как

$$(c-3)^2+12c=c^2-6c+9+12c=c^2+6c+9=(c+3)^2,$$

получаем

$$\frac{4}{(c+3)^2}\cdot\frac{(c+3)^2}{2}=2$$

Ответ: а) $$m-n$$; б) $$1$$; в) $$2$$; г) $$2$$.